ECUACIONES DE 2do. GRADO
TÉCNICA PARA EL CALCULO DE SUS SOLUCIONES
Por Silvia Ele Profesora de Matemáticas

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ECUACIONES DE 2do. GRADO RESOLVENTE DE SEGUNDO GRADO

Resolvente 2º G. Online
Números Complejos

 

 

 

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA


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Una ecuación de segundo grado es aquella en la cual la incógnita (generalmente simbolizada por x ) aparece elevada a la segunda potencia.

En general, puede simbolizarse como

MATH

donde $a$ representa al coeficiente del término cuadrático, y nunca puede ser$=0$ , pero sí puede ser igual a cualquier otro número real.

MATH es el coeficiente del término lineal, es decir aquel en que $x$ aparece elevada

a la primera potencia. Puede o no ser igual a $0$. Y

MATH es el término independiente, pues es el coeficiente del término donde $x$ aparece elevada a la potencia $0$, o sea, $x$ no aparece porque $x^{0}=1$.

Según los valores de $\ \ a$, $b$ y $c$, las ecuaciones de segundo grado se clasifican en 1.Completas, cuando $a,b$ y $c$ son distintas de $0$.

2.Incompletas, cuando

2.1 $b=0$, o sea, no contiene término lineal, o bien $\ $cuando 2.2 $c=0,$ es decir, no existe término independiente.

Veamos 2.1. La forma general sería

MATH

En este caso, la resolución es fácil:

MATH $\ \ \ \ \ \ $de donde MATH

Por lo tanto

MATH MATH y MATH

Por ejemplo:

$4x\U{b2}-25=0,$

se resuelve así: $\ $

de $\ 4x\U{b2}=25$, es MATH, y MATH

 

Por lo tanto, MATH $\ \ \ \ \ \ \ \ $ y MATH

 

2.2 Si $\ \ \ c=0$, es $\ \ \ ax^{2}+bx=0$

En este caso, para resolver, extraemos el factor común, y nos queda:

MATH

Que es lo mismo que $(x-0)(x+b)=0,$ y este producto dará $=0$ sólo si $x\U{2081} =0$ , (porque el primer factor será $0$, y multiplicado por lo que sea que valga el otro, dará producto $0$), o bien si

$x\U{2082} =-b$ (ya que $-b+b=0$ ).

Por ejemplo, $\ x^{2}-4x=0$ se puede pensar como:

MATH o sea $x(x-4)$ $=0$ , que tendrá

como raíces $x\U{2081} =0$ y $x\U{2082} =4.$

Volviendo al caso general, si $\ \ a=1$, se dice que las ecuaciones son Reducidas.

Veamos cómo se resuelve una de estas joyitas cuando $a=1$, y $b$ y $c$ son distintas de $0$.

Su forma sería:MATH

Pensémoslo en un ejemplo: $\ x^{2}-6x-16=0$ .

Si hacemos un conveniente pasaje de miembro ( el viejo truco ),

nos queda $x2-6x=16$ [1]

Si observamos el primer miembro, vemos que podría corresponder a los dos primeros términos de un trinomio cuadrado perfecto ( o sea, el cuadrado de un binomio), donde:

MATH es el cuadrado del primer término del binomio,

MATH sería el doble producto del primero por el segundo, pero nos faltaría el cuadrado del segundo.

Ahora bien, si $\ x$ es el primer término del binomio, $\ $ $-6$ sería el producto de $2$ (doble producto, dijimos) por el segundo.

Si llamamos $q$ al segundo, donde $2q=-6$ implica que $q=-3$. Y el binomio sería $(x-3)$

Entonces, apelando al otro viejo truco: "sumo y resto lo mismo y no altero la suma", puedo escribir

MATH (porque $9-9=0$)

Y, asociando convenientemente, queda:

MATH

o sea, MATH

Entonces, reemplazando en [1], queda MATH

y, resolviendo, será MATH y MATH

o sea MATH de donde $\ x\U{2081} =8$ y $x\U{2082} =-5+3,$ $x\U{2082} $ $=-2$

Generalizando lo anterior, se ve que este mismo proceder es aplicable a cualquier ecuación general de 2º grado con una incógnita. O sea, si:

MATH

será $\ x^{2}+bx=-c.$

Y si utilizamos el recurso del trinomio cuadrado perfecto, veremos que $\ bx=2.x.q$ .

Entonces, es $q=\frac{b}{2}.$ y, si sumamos y restamos $\ q^{2}$ en ambos miembros (nuestro querido y viejo truco), será

 MATH

Luego, antes de caer en el colpaso cerebral, hacemos el conveniente pasaje de miembro y el factoreo del trinomio, y nos quedará

MATH

De donde, MATH

y

MATH ; MATH ; MATH ;

MATH; MATH

que es lo mismo que

MATH . Pero como $\ \ a=1$,

esto es lo mismo que

MATH

Y si aún queda alguien que desconfíe de este razonamiento, veamos si, aplicando esta fórmula en la ecuación anterior, llegamos a las mismas raíces. (Atención: un ejemplo no es una demostración válida, pero si el ejemplo no coincide con la conclusión, vale para demostrar la no validez de la misma.)

Recordemos que era:

$a=1$; $\ \ b=-6$; $\ \ c=-16$

entonces MATH

de donde

MATH,

pero $36+64=100$, entonces

MATH o sea MATH entonces

$\ x\U{2081} =8$ ( que coincide con una de las que hallamos antes)

y

MATH entonces $\ x\U{2082} =-2$ (y que también coincide con la otra que hallamos)

Una vez aceptado esto, es una buena idea proponernos, para cuando  egresemos de la sala de terapia intensiva para cerebros exhaustos, preguntarnos si esta fórmula sirve para todos los casos. O sea, ¿sirve tanto para completas como para las incompletas y para las que no son reducidas?.

También nos queda para después el análisis de la relación entre el valor y la "realidad" de las raíces, y el signo de la expresión sub-radical en la fórmula, nuestro querido $(b^{2}-4ac).$

Estos desarrollos los dejamos para otro día, cuando la convalescencia esté avanzada, y nuestras neuronas hayan recuperado su actividad.

Por hoy, les deseo feliz terapia.

Y les digo "¡Hasta el próximo suplicio!"

"Silvia Ele, la autora de esta colaboración, es una profesora de matemática de muchos años, con quien podés comunicarte enviándole un mensaje a  silviaele59@hotmail.com "

Ella es webmaster y administra
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