CUADRADOS MÁGICOS, Resolución
Método de Solución Para Resolverlos

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Los Cuadrado Mágicos
Introducción Histórica:
Como dirían muchos historiadores, los orígenes de los cuadrados mágicos se pierden en la oscuridad  de los tiempos pasados, pero sabemos que los sacerdotes egipcios los empleaban para predecir el futuro, y en China, en el año 2200 a C. el emperador Shu vio el cuadrado mágico de 3x3 en el caparazón de una tortuga en el río Lo. . También los indios, los egipcios, los árabes y los griegos tuvieron constancia de su existencia. En todas estas civilizaciones generalmente se le atribuían a estos cuadrados propiedades místicas.

Los mas antiguos escritos que llegaron hasta nuestra manos en la actualidad son del siglo VIII, de origen árabe, pero aparentemente el autor fue un pensador de la escuela de Alejandría, conocido como Apolonio de Tiana, y se supone que la entrada a Europa fue a través del matemático bizantino Moschopoulos, que estudio varias de sus propiedades y resolvió varios cuadrados de diversos ordenes. Sus curiosas e interesantes características atrajeron la atención de muchos matemáticos importantes como , Pascal, Leibnitz, Euler, que en los siglos XVI y XVII se ocuparon con gran interés.

La Leyenda China de Lo-Shu: El relato cuenta que estando el emperador Shu, contemplando el río Lo (actual Amarillo) para intentar encontrar una solución a los problemas creados en la agricultura por las seguidas crecidas o desbordamiento del mismo, emerge una tortuga gigante, símbolo del conocimiento y longevidad, y en su caparazón tenía grabado un diseño de puntos coloreados que formaban un cuadrado. Dichos puntos formaban nueve números, cada uno de los cuales se inscribía en un pequeño cuadrado, que a su vez estaba integrado en el cuadrado completo del caparazón, en una disposición de tres sectores por tres.

Lo curioso del caso es que los números sumaban un total de quince leyéndolos en cualquier sentido, horizontal, vertical o diagonal. Los números y su disposición en el caparazón de la tortuga fueron estudiados por los sabios del momento y se trasladaron a un cuadrado que se denominó el cuadrado lo shu o cuadrado mágico que se convirtió en la base de la numerología china, la astrología, el I Ching y el Feng-shui.

Cuadrados Mágicos: el mundo de los cuadrados mágicos es muy interesante y apasiona a todos los que tenemos cierta inclinación por lo números. Mas allá de una curiosidad matemática, se presenta también como un desafío para conseguir resolver esta especie de rompecabezas matemático, obligándonos a pensar y a la vez nos ayuda a desarrollar nuestra capacidad de razonamiento y abstracción. Muchos profesores y especialista lo recomiendan en las escuelas y hogares como ejercicios diarios para chicos y también para adultos, sobretodo aquellos que están en etapas mas sedentarias de sus vidas en donde las exigencias son menores.

Ahora bien, que es un Cuadrado Mágico?,....es una cuadrilla o cuadricula de forma cuadrada, y como tal está dividida en celda cuadradas menores, es decir es una grilla de n celdas verticales por n celdas horizontales, en donde a n se le llama Grado del Cuadrado. El cuadrado de aquí abajo tiene grado 4 porque posee 4 celdas verticales por 4 celdas horizontales.


Cuadrado de 4 celdas verticales por 4 horizontales
Posee 16 celdas en total, el grado es 4

Para convertir a esta grilla en un cuadrado mágico, debemos colocar adentro de cada celda un numero natural entre el 1 y el 9 sin repetir, de tal manera que la suma de los mismo en forma vertical y horizontal sea siempre igual, a dicho valor se lo conoce como constante mágica del cuadrado.

El valor de la constantes se puede obtener con la siguiente fórmula:

Por ejemplo para el grado n=3, la suma deber ser igual:
Sn=3.(32 + 1)/2= 15

Y así se puede calcular para cada orden del cuadrado, por ejemplo si n=4, Sn será 34

Como curiosidad si usamos una grilla de n=2, es imposible conseguir un cuadrado mágico, y  se puede demostrar armando un sistema de ecuaciones y concluyendo que en realidad no hay 4 números distintos que sumandos en sentido vertical y horizontal no dé 5.

Normalmente el desafío para los curiosos es el de armar un cuadrado mágico con el propio esfuerzo, mediante el sentido común e ir probando hasta conseguir el resultado buscado, y como decíamos antes es muy utilizado para "mover" un poco mas nuestras neuronas, y desarrollar nuestra mente. Pero a los fines prácticos hay varios métodos probados para hacer cuadrado mágicos sin pensar , con solo repetir una serie de pasos mecanizados. A continuación se presentan dos métodos, uno para cuadrados mágicos de orden par, donde n es 2,4,6,8...etc., y otro para cuadrados de orden impar.

MÉTODO DE SOLUCIÓN:
Resolución de Cuadrados Mágicos de Orden Impar por el Método de Loubere:

Ejemplo: Cuadrado Mágico de orden 5, aplicando la formula se tiene que la constante mágica  es igual a 65.

Se coloca el número 1 en la posición central de la fila superior y vamos rellenando en diagonal hacia arriba y a la derecha, es decir, el 2 se coloca en la posición (5,4) (fila 5, columna 4), el 3 en la posición (4,5), el 4 en la (3,1), y así sucesivamente.

Cuando al intentar colocar un número en la posición que debe ocupar nos la encontramos ya ocupada colocamos ese número justo debajo del último que hemos colocado y continuamos colocando en diagonal.

El cuadrado mágico de orden 5 obtenido con este procedimiento es el siguiente:

 

Resolución de Cuadrados Mágicos de Orden Par, pero que sea múltiplo de 4 (Método 4k)
Ejemplo: Resolución Cuadrado Mágico de Orden 4 (mas chico de los pares)

Inicialmente llenamos el cuadrado con los números naturales en forma correlativa comenzando desde el 1 en la celda superior izquierda y avanzando hacia la derecha y hacia abajo (es mas fácil ver la figura de abajo que explicar este paso)

Hacemos las dos diagonales como indica la figura siguiente

Entonces los números que quedan afuera de las diagonales, que son el 2,3,5,8,9,12,14,15 no se mueve y quedan donde están, y los otros que son cortados por ambas diagonales se invierten de posición POR SU SIMÉTRICO. Analizar la figura de abajo, donde está el cuadrado resuelto,  observar como el 1 pasa donde está el 16 y viceversa. Igual para el 4 con el 13, el 10 con el 7 y 6 con el 11.

Si el orden de cuadrado es 8,16,24,...etc., a la grilla se la debe dividir en cuadrados mas chicos de 4 celdas cada uno, y efectuar este mismo método estudiando a todo el cuadrado grande. Solo hay que observar bien y ver cual es el simétrico de los números que son cortados por las diagonales.

Por ejemplo para el de grado 8 se tiene, que el simétrico del 1 es el 64, de 8 es el 57, para el 4 el simétrico es el 61, para el 5 el simétrico es 60, para el 10 es el 55, para el 11 es el 54, para el 18 es el 47, para el 19 el 46, y así sucesivamente se van invirtiendo todos los números.

El error en la solución de estos problemas es cuando uno determina el simétrico, es muy común que se equivoquen al buscarlo en la grilla,
pero el método es sí es sumamente fácil y práctico.
Matemáticamente para determinar el simétrico en la se calcula con la formula: (n+1)-nf ó (n+1)-nc
Por ejemplo el 50 tiene coordenadas: fila nf=7 y columna nc=2 entonces aplicando la formula  se obtienen
las coordenadas del simétrico es: fila=(8+1)-7=2 y columna=(8+1)-2=7, ósea es el: 15

El noble Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) consideró que los cuadrados mágicos constituían sólo una parte lúdica de las matemáticas y, en 1612, publicó un libro con un título muy sugerente: Problemas agradables y deleitosos que se hacen con números, muy útil para toda clase de personas curiosas que saben algo de aritmética. Aunque él se preciaba de haber inventado fórmulas nuevas para la construcción de cuadrados mágicos, esto no fue realmente así y ya su contemporáneo Pierre Fermat le acusó de plagio.

Respecto a las reglas para armar estos rompecabezas matemáticos podemos decir que hay infinitas variantes para establecer una forma de distribuir los números en  cuadrillas de celdas. Prácticamente es  cuestión de plantear una forma de reparto y luego empezar a  pensar como se puede cumplir con dicho planteo. También se suelen usar números negativos, pueden ser también letras o colores, pero bueno son todas extensiones de estos primeros maravillosos cuadrados mágicos que han sorprendido y apasionados a miles de matemáticos (y no matemáticos) de la historia.

A modo de ejemplo, se plantea el siguiente ejercicio: Distribuir los números 1,2,3,4,6,9,12,18 y 36 de tal manera que al multiplicar cualquier linea vertical, horizontal o diagonal, el resultado siempre sea el mismo, te animas?


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