En tiempo de guerra, las matemáticas para descifrar mensajes secreto son más importantes que la teoría de juegos. Durante la Segunda Guerra Mundial los Aliados se dieron cuenta de que, en teoría, la lógica matemática se podía utilizar la lógica matemática para descifrar los mensajes alemanes si los cálculos involucrados eran llevados a cabo lo suficientemente rápido.

El reto era encontrar una manera de automatizar las matemáticas, de tal forma que una máquina pudiera ejecutar los cálculos. La persona que mas contribuyó a este trabajo de desciframiento fue el inglés Alan Turing.(foto izquierda)

En 1938 Turing regresó a Cambridge después de una breve temporada en la Universidad de Princeton. Había sida testigo de primera de la confusión generada por los teoremas de indecidibilidad de Gödel y se había comprometido en la tarea de recoger lo que quedaba del sueño de Hilbert. En particular, quería saber si había una manera de definir cuáles preguntas son decidibles y cuáles no, y trató de desarrollar una manera metódica de contestar esta pregunta.

En esa época las maquinas calculadoras eran en términos prácticos, primitivas e inútiles a la hora de hacer matemáticas serias, así que Turing basó sus ideas en el concepto de una máquina imaginaria capaz de realizar cómputos por toda la eternidad, era todo lo que él necesitaba para explorar sus preguntas abstractas de lógica. Lo que Turing no sabía era que sin mecanización imaginaria de preguntas hipotéticas habría de conducir a un importante avance en la manera de ejecutar cálculos reales en máquinas reales.

A pesar del estallido de la guerra, Turing continuó su investigación como miembro del King’s College hasta el 4 de septiembre de 1940, cuando su tranquila vida como profesor en Cambridge llegó abruptamente a su fin había sido requerido por la Escuela Gubernamental de Codificación y Descodificación, cuya tarea era descifrar los mensajes secretos del enemigo. Antes de la guerra, los alemanes habían dedicado un esfuerzo considerable a desarrollar un sistema superior de codificación, y este era un asunto de enorme importancia para la Inteligencia británica, que en el pasado había podido descifrar con relativa facilidad las comunicaciones del enemigo. El texto oficial del gobierno británico sobre la guerra, La Inteligencia británica en la Segunda Guerra Mundial, describe la situación en la década de los treinta:

Hacia 1937 pudo establecerse que, a diferencia de sus contrapartes japoneses e italianos, el Ejército alemán, la Marina y probablemente la Fuerza Aérea, junto con otras organizaciones del Estado como los ferrocarriles y la SS, estaban usando en todas sus comunicaciones, excepto en las tácticas diferentes versiones del mismo sistema de codificación Tal era la Máquina Enigma que había salido al mercado en la décadas de los veinte pero que los alemanes habían mejorado mediante modificaciones progresivas. En 1937 la Escuela gubernamental de Codificación y descodificación penetró en el modelo menos modificado y seguro de esta máquina, modelo que utilizaban los alemanes, los italianos y las fuerzas nacionalistas españolas. Pero aparte de esto, Enigma se resistía al ataque, y todo parecía indicar que continuaría haciéndolo

La máquina Enigma consistía de un teclado conectado a una unidad de codificación. La unidad de codificación contenía tres rotores separados cuyas posiciones determinaban como sería codificada cada letra del teclado. Lo que hacía que el código Enigma fuera tan difícil de romper era la enorme cantidad de maneras en que la máquina se podía configurar. Primero, los tres rotores de la máquina se podían escoger de un grupo de cinco, y podían ser cambiados e intercambiados para confundir a los descifradores. Segundo, cada rotor podía ser ubicado en una de veintiséis diferentes. Esto quiere decir que la máquina se podía configurar en más de un millón de maneras. Además de las conmutaciones que permitían los rotores, las conexiones eléctricas de la parte posterior de la máquina podían ser cambiadas manualmente dando lugar a más 150 millones de millones de millones de posibles configuraciones. Para aumentar la seguridad aún más, la orientación de los tres rotores cambiaba continuamente, así que cada vez que se transmitía una letra la configuración de la máquina, y por lo tanto la codificación, cambiaban para la siguiente letra. De tal forma, teclear ‘DODO” podría generar el mensaje “FGTB”: la “D” y la  “O” se envían dos veces, pero son codificadas de manera distinta cada vez. Las máquinas Enigma fueron entregadas al Ejército, a  la Marina y a la Fuerza Aérea alemanas, y se operaban incluso en los ferrocarriles y otros departamentos del gobierno.  Como sucedía con todos los sistemas de código que se utilizaban durante este período, una debilidad del Enigma era  que el receptor tenía que conocer la configuración establecida por el emisor. Para conservar la seguridad las configuraciones del Enigma tenían que ser alteradas todos los días. Una de las maneras que tenían los emisores para cambiar las configuraciones con frecuencia y mantener a los receptores informados era la publicación de las configuraciones diarias en un libro de códigos secreto. El riesgo de este método era que los británicos podrían capturar un submarino alemán y conseguir el libro de códigos con las configuraciones diarias para el próximo mes. El método alternativo, y el que se adoptó durante la mayor parte de la guerra, consistía en transmitir las con figuraciones diarias como preámbulo al mensaje presente, pero codificadas según las configuraciones del día anterior.  Cuando la guerra comenzó la Escuela Británica de Codificación estaba dominada por lingüistas y estudiosos de las lenguas clásicas. El Ministerio de Relaciones Exteriores pronto se dio cuenta de que los teóricos de los números tenían una mayor probabilidad de encontrar la clave para romper los códigos alemanes y, para comenzar, nueve de los mas brillantes teóricos de los números británicos fueron reunidos en la nueva sede de la escuela en Bletchley Park, una mansión victoriana en Bletchley, condado de Buckingham— shire. Turing tuvo que abandonar sus máquinas hipotéticas con cinta infinita y tiempo de procesamiento ilimitado para enfrentarse a un problema práctico Con recursos finitos y un límite de tiempo muy real.

La criptografía es una batalla intelectual entre el diseñador del código y el descifrador. El reto trata el diseñador del código es mezclar y enredar un mensaje de salida hasta el punto en que no pueda ser descifrado en caso de que el enemigo lo intercepte. Sin embargo, la cantidad de manipulación matemática posible se ve limitada por la necesidad de despachar los mensajes de manera rápida y eficiente. La fortaleza del código Enigma alemán era que el mensaje cifrado era sometido a varios niveles de codificación a una velocidad muy alta. El reto para el descifrador era tornar un mensaje interceptado y romper el código antes de que el contenido del mensaje dejara de ser relevante. Un mensaje alemán que daba la orden de destruir un barco británico tenía que ser descifrado antes de que el barco fuera hundido.

Turing lideraba un equipo de matemáticos que intentaba construir una réplica de la máquina Enigma. Turing incorporo sus ideas abstractas de antes de la guerra en estos dispositivos, que en teoría podían verificar metódicamente todas las posibles configuraciones de la máquina Enigma hasta romper el código. Las máquinas británicas, con mas de dos metros de altura e igual anchura, empleaban relees electromecánicos para verificar todas las potenciales configuraciones del Enigma. El tictac permanente de los relees hizo que se les apodara bombas. A pesar de su velocidad, era imposible vira las bombas verificar los 150 millones de millones de millones de posibles configuraciones de Enigma dentro de un tiempo razonable, así que el equipo de Turing tenía que encontrar maneras de reducir en forma significativa el numero de permutaciones extrayendo la información que pudieran de los mensajes enviados.

Uno de los mayores avances logrados por los británicos fue darse cuenta de que la máquina Enigma no podía codificar una letra como ella misma, es decir, si el emisor tecleaba “R” la máquina potencialmente podía enviar cualquier letra dependiendo de sus configuraciones, excepto ‘R”. Este hecho aparentemente inocuo era todo lo que se necesitaba para reducir drásticamente el tiempo de desciframiento de un mensaje. Los alemanes respondieron limitando la longitud de todos los mensajes que enviaban. Inevitablemente, todos los mensajes contienen pistas para el equipo de descifradores, y entre más largo el mensaje, mayor la cantidad de pistas. Limitando todos los mensajes a un máximo de 250 letras, los alemanes esperaban compensar la renuencia de la máquina Enigma a codificar una letra corno ella misma.

Con el fin de romper códigos, Turing con frecuencia trataba de adivinar palabras claves en los mensajes. Si acertaba se aceleraba enormemente el proceso de descifrar el resto del código. Por ejemplo, si los descifradores sospechaban que un mensaje contenía un informe sobre el clima, un tipo

el mensaje contenía palabras como “niebla” y velocidad del viento”. Si estaban en lo correcto podían descifrar rápidamente ese mensaje, y por con siguiente deducir las configuraciones del Enigma para ese día. Durante el resto del día podían descifrar con facilidad otros mensajes más valiosos.

Cuando no acertaban con palabras acerca del estado del tiempo, los británicos trataban de ponerse en la posición de los operadores alemanes del Enigma con el fin de adivinar otras palabras claves. Un operador descuidado podría dirigirse al receptor por su primer nombre, o ría haber desarrollado formas peculiares de expresión que fueran conocidas por los descifradores. Se dice que cuando todo lo demás fallaba y el tráfico alemán estaba fluyendo sin ser interceptado, la Escuela Británica de Codificación le pedía a la Fuerza Aérea británica (RAF) que bombardeara un puerto alemán en particular. Inmediatamente el capitán de puertos alemán enviaba un mensaje cifrado que era interceptado por los británicos. Los descifradores estaban casi seguros de que el mensaje contendría palabras COmo “mina”, “evitar” y “mapa”. Roto este mensaje, Turing tenía las configuraciones Enigma para ese día, y el resto del tráfico alemán podía ser descifrado rápidamente.

El primero de febrero de 1942 los alemanes le agregaron una cuarta rueda a las máquinas Enigma que se empleaban para enviar mensajes particularmente delicados. Este fue el momento de mayor intensidad que alcanzó la codificación durante la guerra, pero finalmente el equipo de ‘Iüring respondió aumentando la eficiencia de las bombas. Gracias a la

Escuela de Codificación, los Aliados sabían más acerca de su enemigo de lo que los alemanes jamás sospecharon. El impacto de los submarinos alemanes en el Atlántico se redujo enormemente, y los británicos recibían advertencia anticipada de los ataques de la Fuerza Aérea alemana. Los descifradores también interceptaron y decodificaron la posición exacta de los buques de suministro alemanes permitiendo que destructores británicos fueran enviado a hundirlos.

Las fuerzas aliadas tenían que tener cuidado permanentemente que sus acciones evasivas y sus asombrosos ataques no delataran su capacidad de desciframiento de las comunicaciones alemanas. Si los alemanes llegaran a sospechar que Enigma había sido descifrado aumentarían el nivel de codificación, y los británicos se encontrarían de nuevo donde comenzaron. Hubo, por lo tanto, ocasiones en que la Escuela de Codificación informó a los Aliados de un ataque inminente y estos optaron por no tomar medidas extremas. Hay incluso rumores de que Churchill sabía que Coventry sería blanco de un ataque devastador, y sin embargo decidió no tornar precauciones especiales, para evitar que los alemanes sospecharan algo. Stuart Milner-Barry, quien trabajó con Turing, niega el rumor, y afirma que el mensaje relevante respecto a Coventry Solo fue descifrado cuando ya era muy tarde.

El uso restringido de la información descifrada funciono perfectamente. Aun cuando los británicos utilizaban las comunicaciones interceptadas para ocasionar grandes perdidas, los alemanes no sospechaban que el código Enigma ha

que era absolutamente imposible romper sus códigos. Culpaban de las pérdidas excepcionales al servicio secreto británico infiltrado en sus filas.

Debido a la naturaleza secreta del trabajo llevado a cabo en Bletchley por Turing y su equipo, su contribución inmensa al esfuerzo de la guerra no pudo ser reconocida públicamente, ni siquiera muchos años después de la guerra. Solía decirse que la Primera Guerra Mundial fue la guerra de los químicos y la Segunda Guerra Mundial la de los físicos. de hecho, de acuerdo con la información revelada en las últimas décadas, quizás sea verdad que la Segunda Guerra Mundial fue también la guerra de los matemáticos, y que en el caso de una tercera guerra su contribución sería aún más importante.

A lo largo de toda su carrera como descifrador, Turing nunca perdió de vista sus objetivos matemáticos. Las máquinas hipotéticas habían sido reemplazadas por máquinas reales, pero las preguntas esotéricas seguían vigentes. Cerca del final de la guerra Turing ayudó a construir el Colossus, una máquina totalmente electrónica compuesta de 1.500 válvulas que eran mucho más rápidas que los relés electromecánicos empleados en las bombas. Colossus era un computador en el sentido moderno de la palabra, y su velocidad adicional y sofisticación hicieron que Turing lo considerara un cerebro primitivo: tenía memoria, podía procesar información y los estados dentro del cornputador se asemejaban a estados mentales. Turing había transformado su máquina imaginaria en el primer computador real.

Cuando la guerra termino Turing continuo construyendo maquinas cada Vez mas complejas como el Motor de Cómputo Automático. En 1948 se trasladó a la Universidad de Manchester y construyó el primer computador con un programa almacenado electrónicamente. Turing le había dado a Gran Bretaña los computadores más avanzados del mundo, como no viviría lo suficiente para ver sus cálculos más sorprendentes En los años que siguieron a la guerra Turing estuvo bajo vigilancia de la Inteligencia británica, que sabía que él era un homosexual practicante. Les preocupaba que el hombre que sabía más que nadie acerca de los códigos de seguridad británicos estuviera expuesto al chantaje, y decidieron seguir cada uno de sus movimientos. Turing se había acostumbrado en buena medida a estar constantemente vigilado, pero en 1952 fue arrestado por violar ¡as leyes británicas de homosexualidad. Esta humillación le hizo la vida intolerable. Andrew Hodges, el biógrafo de Turing, describe los acontecimientos que condujeron a su muerte:

La muerte de Alan Turing fue un duro golpe para quienes lo enuncian. . . Era claro que era una persona infeliz, tensa, que estaba connsultando a un siquiatra y que había sufrido un golpe que habría acabado a mucha gente. Pero el juicio había ocurrido hacía dos años, el tratamiento con hormonas había terminado hacía un año y él parecía que había superado todo. La investigación judicial del 10 de junio de 1951 estableció que su muerte fue por suicidio. Lo encontraron cuicuidadosamente recostado en su cama. Había espuma alrededor de su boca y el patólogo que hizo la autopsia identificó fácilmente la causa de la muerte como envenenamiento con cianuro. En la casa había un frasco de cianuro de potasio y también el frasco de solución de cianuro. Al lado de su cama había media manzana con varios mordiscos. La manzana no fue analizada, así que nunca se estableció completamente que, como parece obvio, había sido sumergida en el cianuro.

El legado de Turing fue una máquina que podía realizar en cuestión de horas un cálculo enorme que una persona tardaría demasiado tiempo en completar. Los computadores de hoy pueden ejecutar en un segundo más cálculos de los que ejecutó Fermat en toda su carrera. Los matemáticos que todavía estaban luchando con el último teorema de Fermat comenzaron a utilizar computadores para abordar el problema, con base en una versión computarizada del método que Kummer usó en el siglo XIX

Después de haber descubierto un error en el trabajo de Cauchy y Lamé, Kummer mostró que lo que faltaba para probar el último teorema de Fermat era resolver los casos en que u es igual a un primo irregular (para valores de n hasta cien los únicos primos regulares son 37, 59 y 67). Al mismo tiempo Kummer, señaló que, en teoría, todos los primeros irregulares podían ser despachados individualmente; el único problema era que cada uno requeriría una cantidad enorme de cálculos. Para demostrar esta afirmación Kummer y su colega Dimitri Mirimanoff dedicaron varias semanas a los cálculos necesarios para despachar los tres primos irregulares menores que cien. Sin embargo, ni ellos ni otros matemáticos estaban preparados para empezar a trabajar Con la siguiente tanda de primos irregulares, los comprendidos entre cien y mil. Unas décadas después los problemas de los cálculos inmensos comenzaron a desaparecer.

Con la llegada del Computador los casos complejos del último teorema de Fermat podían ser despachados velozmente, y después de la Segunda Guerra Mundial equipos de ingenieros de sistemas y matemáticos demostraron el Último Teorema de Fermat para todos los valores de hasta quinientos, después hasta mil y después hasta diez mil. En la década de los ochenta Samuel S. Wagstaff de la Universidad de Illinois elevó el límite hasta veinticinco mil, y más recientemente los matemáticos han podido afirmar que el último teorema de Fermat es verdadero para todos los valores de n hasta cuatro millones.

Aunque los inexpertos sentían que la tecnología moderna finalmente estaba derrotando al último teorema, la comunidad matemática sabía que su éxito era puramente cosmético. Aun si los supercomputadores gastaran décadas demostrando un caso tras otro, nunca podrían demostrar todos los valores de u, hasta infinito, Y por lo tanto nunca podrían decir que demostraron el teorema en su totalidad. Aun si el teorema se demostrara hasta mil millones, no hay ninguna razón para que sea cierto para el caso mil millones uno. Si el teorema se demostrara para un billón, no hay ninguna razón para que sea cierto extra el caso un billón uno, y así add infinitum. El infinito es inalcanzable mediante la sola fuerza bruta del procesamiento de números computarizado.

En su libro The Picturegoers, David Lodge da una hermosa descripción de la eternidad que se aplica también al concepto paralelo de infinito: “Píénsese en una bola de hierro del tamaño del mundo y en una mosca que se posa sobre ella una vez cada millón de años. Cuando la bola de hierro se haya gastado completamente por causa de la fricción, la eternidad ni siquiera habrá comenzado.” Todo los computadores podían ofrecer era evidencia en favor del último teorema de Fermat. Al observador casual la evidencia podrá parecerle abrumadora, pero ninguna cantidad de evidencia es suficiente como para satisfacer a los matemáticos, una comunidad de escépticos que no aceptan nada diferente a la demostración absoluta. Extrapolar una teoría para cubrir una infinidad de números a partir de la evidencia de unos pocos números es una apuesta riesgosa (e inaceptable)....