La Matematica en el Siglo XX Problemas Sin Resolver
Matemática en el siglo XX - Problemas Sin Resolver - Conjeturas Poincare
DESAFÍOS MATEMÁTICOS ACTUALES
Aunque ya nos encontramos en eL siglo XXI es bastante temerario hacer un balance de Hitos Matemáticos del siglo pasado.
En primer lugar porque la perspectiva es aún escasa y, en segundo lugar y más importante, porque las propias características de la Matemática del siglo XX, marcadas por un desarrollo sin precedentes y una amplitud de temas extraordinaria, hace que sea muy difícil por no decir imposible la catalogación de Los hitos fundamentales de la ciencia matemática.
Esto se debe a diversas causas.
En primer lugar, porque la producción matemática del siglo XX ha superado (en cuanto a extensión y posiblemente en cuanto a calidad) a la producción en toda la historia anterior.
Por citar algunos datos: en La década de los 90 se han publicado una media de más de 50.000 trabajos anuales de investigación en Matemática en las revistas especializadas del todo el mundo.
Junto a la cantidad de producción, la segunda causa es, sin duda, la diversidad de campos que le abarca: a lo largo del siglo XX han surgido y se han desarrollado áreas completamente nuevas, y los resultados matemáticos han impregnado prácticamente todas las parcelas de nuestra vida cotidiana.
Como resultado, el desarrollo tecnológico y científico del siglo XX no ha tenido parangón en la historia de la humanidad.
Conviene no perder de vista esta perspectiva: la Matemática es la base, los rieles sobre los que caminan las ciencias y la tecnología; sin un desarrollo matemático no puede haber un desarrollo científico parejo y la historia está llena de ejemplos que muestran como sólo cuando la maquinaria matemática ha desarrollado los conceptos y técnicas adecuadas se han podido dar nuevas teorías y grandes pasos científicos.
Citemos tres ejemplos típicos del siglo XX: la Teoría de La Relatividad de Einstein, imposible sin el desarrollo de la Geometría diferencial moderna, los estudios sobre computabitidad que de la mano de Von Neumann condujeron a la creación de las computadoras, y los trabajos de Shannon sobre la Teoría Matemática de la Comunicación de los años 1948 y 50 que sentaron las bases de la Teoría de Códigos y por consiguiente de la moderna transmisión de datos.
Entre los campos que son un producto específico del siglo XX mencionaremos simplemente cuatro ejemplos que por lo tanto no pretenden ser, ni mucho menos exhaustivos de los avances de la Matemática.
En primer lugar la Topología, es decir el estudio de las formas de las variedades, introducido por Poincaré (foto) a comienzos de siglo y que ha experimentado un desarrollo espectacular a lo largo del siglo de la mano de nombres como Serre, Milnor, Smale o Thurston.
En segundo lugar, el manejo del azar, la probabilidad y el análisis estocástico son otra de las grandes creaciones del siglo pasado.
Si bien es cierto que ya existían estudios sobre la probabilidad desde la época de Fermat Pascal e incluso antes, pero es en el siglo XX cuando a partir de la axiomatización del modelo probabilístico por Kolmogorov, y más tarde de la herramienta fundamental del análisis estocástico: la integral estocástica, por Kiyositó cuando la disciplina toma vuelo hasta construirse en una de las áreas más activas en la actualidad.
Piénsese que prácticamente todos los fenómenos encierran una componente aleatoria, por lo que el análisis estocástico es imprescindible en ellos.
En tercer lugar el estudio de los sistemas dinámicos y en particular de tos fenómenos no lineales ha sido también una de las áreas de desarrollo espectacular en el siglo XX: en las ecuaciones que regulan la evolución un proceso concreto se observa que a menudo aparecen términos no lineales.
Un ejemplo importantísimo son las ecuaciones de Navier-Stokes que regulan la dinámica de fluidos.
La existencia de estos términos no lineales conduce a comportamientos caóticos que hoy sabemos que aparecen con muchísima frecuencia, por lo que el estudio de la estabilidad de las soluciones de un sistema dinámico es muy importante.
Uno de los resultados más llamativos del siglo es el llamado teorema KAM (KoLmogorov, Arnold y Moser) de los años 60 relativo a la estabilidad de las órbitas del problema de los n cuerpos (por ejemplo el sistema solar) y que nos aporta cierta tranquilidad acerca de que nuestro planeta continuará en una órbita parecida (pero nunca igual) a la que ha venido teniendo desde su origen.
Y por último no podemos olvidar los estudios sobre lógica, computabilidad y complejidad que impulsados por nombres como Turing, Gódel, Von Neumann, etc. han conducido a la creación de la computadora, el invento del siglo XX que está transformando radicalmente nuestra sociedad.
Algunos de los problemas famosos que se resolvieron en el siglo XX
Además del famoso teorema de Fermat que se demostró en 1994, (ver biografía de Fermat) otro problema que dio que hablar el de los cuatro colores.
El Teorema de los cuatro colores
"En un plano o en una esfera no se necesitan mas de cuatro colores para colorear un mapa de manera que dos regiones vecinas, es decir, que compartan una frontera y no únicamente un punto , no queden coloreadas del mismo color"
Los orígenes de este problema son muy antiguos.
Los cartógrafos renacentistas sabían ya que les bastaban cuatro colores para iluminar sus mapas de manera que dos países vecinos quedaran iluminados de distintos color, logrando así que sus mapas fueran claros y fáciles de entender.
Sin embargo, hasta el siglo XIX, a nadie se había ocurrido que este hecho tuviera que ver con Matemática mucho menos que se podía o debía demostrar.
Parece ser que el llamado problema de tos cuatro colores convirtió formalmente en un problema matemático cuando en un estudiante inglés, Francis Guthrie, a quien te gustaba dibujar y colorear mapas, se dio cuenta de que siempre podía iluminar correctamente los mapas sin usar más de cuatro colores.
Intuyendo esto podía ser demostrado, se lo contó a su hermano Frederick quien había estudiado con un prestigioso matemático inglés de la época llamado De Margan.
De Margan no supo solucionar el problema pero le pareció suficientemente interesante como para enviarte carta a otro prestigioso matemático inglés, Hamilton, quien decidió no hacerle caso al problema, hecho que nunca sabremos sí sucedió porque no pudo resolverlo o porque te pareció intrascendente.
Durante muchos años, matemáticos y no matemáticos, expertos y novatos intentaron resolver el problema de los cuatro colores, problema de Los cuatro colores se hizo tan famoso en el medio matemático, que en 1878 el matemático inglés Cayley lo propuso oficialmente a la Sociedad Matemática de Londres (London Mathemathical Society), una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un problema a resolver.
Varios matemáticos dieron demostraciones que resultaron tener errores, pero lo que sí se logró con el paso de los años y el trabajo de tanta gente, fue demostrar dos cosas fundamentales:
• Tres colores son insuficientes para colorear cualquier mapa, es decir, existen mapas que no pueden colorearse de ningún modo usando únicamente tres colores.
• Con cinco colores se puede colorear cualquier mapa correctamente.
De manera que aunque no se había probado nada respecto a los cuatro colores por lo menos ya se sabía que con tres faltaba y con cinco sobraba, así el número cuatro era el candidato ideal... había entonces que probarlo o refutarlo.
Finalmente en 1976 (124 años después de que se había propuesto el problema!) dos matemáticos de la Universidad de Illinois en Estados Unidos, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, usando una computadora Cray de segunda generación, analizaron 1900 posibles arreglos de regiones en el plano, o sea, analizaron 1900 tipos distintos de mapas.
La computadora tardó 1.200 horas en correr un programa que tenía miles de líneas de largo, y para todos los mapas encontró una coloración en la que a lo más se usaban cuatro colores.
¡El problema había sido resuelto!
¿De verdad?
Muchos matemáticos aceptaron esto como una prueba irrefutable, pero muchos otros argumentaron que eso no era una demostración matemática, la máquina había comprobado que una gran cantidad de mapas podían colorearse usando a lo más cuatro colores, ¿pero que tal sí existía un mapa, que la computadora no hubiera contemplado, que no podía colorearse de esa forma?
La discusión continuó por veinte años, hasta que en 1996, los matemáticos Neit Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour y Robín Thomas, de la Escuela de Matemáticas del Instituto Tecnológico de Georgia, en Estados Unidos, publicaron una demostración, aparentemente correcta, del teorema de tos cuatro colores.
Y así acaba la historia, pues hasta ahora nadie la ha refutado.
Problema del empaquetamiento de Kepler
En 1998 Thomas Hales resolvió el problema de empaquetamiento de Kepler cuyo origen se remonta también a comienzos del siglo XVII.
Hales ha demostrado que el empaquetamiento más denso posible de esferas iguales es la disposición cúbica centrada, es decir en capas rectangulares donde cada capa se desplaza para colocar tas esferas sobre los intersticios dejados por la capa inferior, del modo, que nuestros tenderos colocan Las pilas de naranjas cada día en el mercado.
Como hemos dicho, ya Kepler se ocupó del problema en 1611, calculando la densidad de este modelo de empaquetamiento (aproximadamente 0,7404) y Gauss demostró que era el mejor modo posible con estructura regular (es decir con los centros de las esferas formando una estructura regular), pero quedaba pendiente demostrar que es también el mejor de todos los posibles, aunque sean triangulares.
La demostración de Hales usa de modo esencial la computadora para la comprobación de un determinado número de casos, al igual que ocurrió unos años antes en 1976 con la demostración del Teorema de los Cuatro Colores por K. Appel y W. Haken.
Esto evidencia también una de las características fundamentales de la Matemática del siglo XX:
La irrupción de las computadoras está abriendo nuevas posibilidades para el desarrollo de la Matemática, modifica cando incluso la misma forma de demostración de tos teoremas.
Problemas Pendientes de la Matemática
El 20 de mayo de 2000 un mecenas ofrece 7 millones de dólares por resolver los siete enigmas matemáticos del siglo.
La lista recoge los problemas cruciales para el desarrollo futuro de las ciencias exactas.
Exactamente cien años después de que el científico alemán David Hilbert definiera los 23 grandes problemas que la Matemática del siglo XIX había sido incapaz de resolver, el empresario norteamericano Landon Clay ha ofrecido un millón de dólares a quienes solventen cada uno de los siete enigmas fundamentales que, según su equipo de asesores, han derrotado a La Matemática del siglo XX.
De los 23 retos de Hilbert, 20 han sido resueltos o abordados satisfactoriamente, y dos ya no se consideran cruciales.
El otro vuelve a aparecer en la nueva lista.
El empresario Clay es el fundador del Instituto de Matemáticas Clay, un centro con sede en Cambridge (Massachusetts) dedicado a los estudios avanzados en ciencias exactas.
Su panel de asesores incluye a Andrew Wiles, el matemático de la Universidad de Princeton que logró en 1995 demostrar el escurridizo teorema de Fermat, un enigma que había atraído durante 350 años a los matemáticos de todo el mundo.
Los otros asesores son Alain Connes, del Collége de France, Edward Witten, del California lnstitute of Technology, y Arthur Jaffe, de Harvard. Clay sabe muy bien dónde mete su dinero.
El empresario lanzó su oferta en París, en los actos organizados por el Collége de France para celebrar el centenario de la lista propuesta por Hilbert en 1900, que ha marcado buena parte de la investigación matemática del siglo XX.
Los siete enigmas, según los expertos que tos han seleccionado, conducirán, una vez resueltos, a enormes avances en los campos del cifrado de datos (encriptado) y las ciencias aeroespaciales.
También abrirán a la Matemática áreas inexploradas.
Los siete enigmas representan los grandes problemas no resueltos de la Matemática del siglo XX, dijo Wiles en París.
Esperamos que ofrecer un premio por ellos inspire y estimule a las futuras generaciones de matemáticos.
En efecto, ganar 1 millón de dólares por resolver un problema puede ser una buena fuente de inspiración.
El Premio Nobel está dotado actualmente con menos dinero. Jaffe añadió: No hay límite de tiempo.
La dificultad es de tal magnitud que ningún asesor de Clay espera que surja un ganador en un plazo breve.
Algunos expertos independientes dudan incluso de que el instituto de CLay tenga que deshacerse de sus millones alguna vez.
Lo que sigue es una exposición informal de los enigmas.
Los especialistas pueden consultar sus formalizaciones en la página web del Instituto de Matemáticas Clay http:\\www.cLaymath.org
1. El problema P contra NP.
El matemático Stephen Cook, que formuló este problema en 1971, lo explica con el siguiente ejemplo. Es sábado por la noche y llega usted a una fiesta abarrotada de gente.
La anfítriona Le dice: Creo que conoces a Rosa, aquella chica de la esquina que lleva un vestido rojo.
A usted Le bastará una fracción de segundo para verificar si la anfitriona está en lo cierto o no. Pero si en vez de eso La anfitriona le hubiera dicho mira por ahí a ver si., conoces a alguien, usted puede tardar tres horas en hallar la respuesta.
Por mentira que parezca, esta cuestión supone un problema, enorme para los lógicos y para Los científicos de la computación.
La explicación de Las siglas P y NP no ayuda mucho: se refieren a los’ tiempos polinómico y polinómico no determinista.
2. La hipótesis de Riemann.
Los números primos (1, 2, 3, 5, 7,11...) no parecen seguir ningún patrón regular, pero el matemático alemán Georg Riemann propuso en el siglo XIX que su frecuencia guarda una estrecha relación con el comportamiento de una función matemática (llamada zeta).
Las predicciones de Riemann se halla confirmado para muchos casos, pero todavía se precisa una demostración general.
Este es el único de los siete problemas de Clay que ya estaba presente en la Lista de Hilbert.
3. La teoría de Yang-Milis.
Hace casi 50 años, los físicos Yang y Mills descubrieron ciertas relaciones entre la Geometría y las ecuaciones de la física de partículas que luego resultaron de gran utilidad para unificar tres de las interacciones fundamentales de La materia en una sola teoría.
A pesar de ello, nadie ha demostrado que las ecuaciones de Yang-Mills tengan soluciones compatibles con la mecánica cuántica.
4. Las ecuaciones de Navier-Stokes.
Describen ciertos comportamientos de los fluidos, como las turbulencias provocadas por un avión a reacción o las ondas que forma una barca en el agua. Pero, insólitamente, nadie sabe cómo resolver estas ecuaciones.
5. La conjeturo de Birch y Swinnerton-Dyer.
Uno de los problemas de Hilbert planteaba si existe algún método para saber si las ecuaciones deL tipo xn +yn= zn tienen soluciones que sean números enteros.
Yu Matiyasevich demostró en 1970 que no hay ningún método general.
Sin embargo, los matemáticos que dan nombre a esta conjetura propusieron algunos métodos parciales que están por demostrar.
6. La conjetura de Hodge.
Los matemáticos han aprendido a investigar las formas de los objetos complicados a base de descomponerlos en multitud de bloques geométricos simples.
Estos modelos son muy prácticos, pero hacen trampas al añadir algunos bloques que no tienen ninguna interpretación geométrica.
7. La conjetura de Poincaré.
Las conclusiones que alcanzó Poincaré, el rival francés de Hilbert, sobre tas esferas en el espacio de tres dimensiones han resultado imposibles de trasladar al espacio de cuatro dimensiones.
Los matemáticos llevan cien años intentándolo y no se rinden.
Jules Henri Poincaré (Nacio, Francia, 29 de abril de 1854 - † París, 17 de julio de 1912), generalmente conocido como Henri Poincaré, fue un prestigioso matemático, científico teórico y filósofo de la ciencia.
Poincaré es descrito a menudo como el último "universalista" (luego de Gauss) capaz de entender y contribuir en todos los ámbitos de la disciplina matemática.
En 1894 descubrió el grupo fundamental de un espacio topológico.
En el campo de la mecánica elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas electromagnéticas, y desarrolló, junto a Albert Einstein y H. Lorentz, la Teoría de la Relatividad Restringida (también conocida como Relatividad especial).
La conjetura de Poincaré es uno de los problemas recientemente resueltos más desafiantes de la topología algebraica, y fue el primero en considerar la posibilidad de caos en un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias.
Este trabajo tuvo poco interés hasta que comenzó el estudio moderno de la dinámica caótica en 1963.
En 1889 fue premiado por sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos.
Algunos de sus trabajos más importantes incluyen los tres volúmenes de Los nuevos métodos de la mecánica celeste (Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste), publicados entre 1892 y 1899, y Lecciones de mecánica celeste, (Léçons de mécanique céleste, 1905).
También escribió numerosas obras de epistemología, propedéutica, metodología y divulgación científica que alcanzaron una gran popularidad, como Ciencia e hipótesis (1901), Ciencia y método (1908) y El valor de la ciencia (1904). (Wikipedia)
Fuente Consultada: Los Matemáticos Que hicieron Historia - Alejandro Venturini
Marilyn vos Savant
Grigory Perelman
