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 Cualquier
esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia
circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento sólo puede ser
teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor "racional" solo conllevará
a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el
esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Intentar inscribir una
línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del
mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que
siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar.
Ya en la
antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una
estrecha relación entre su perímetro y su radio pero... ¿Puede este vínculo ser
considerado como un número "racional"? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud
esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones? Sólo desde el siglo
XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre "Pi"
(de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero
largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la
posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.
A lo largo de la
historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los mas
antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra
era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo
inscrito en un cuadrado.
La biblia le
asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416;
Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue
en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una
circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los mas llamativos enigmas a
resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un
cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento
en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por
la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos.
Después de los
trabajaos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus Elementos los
pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exhaución, consistente en
doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares
inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento.
Arquímedes reúne
y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el
semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la
circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71 = 3,14084 y 22/7 =
3,14285.
Obtiene luego
para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y
circunscritos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que
permiten calcular pi con una aproximación dada; este método de cálculo recibió
el nombre de "algoritmo de Arquímedes".
Con el
renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach construye una
tabla de senos de 10' en 10' y adopta para Pi el valor 377/120 = 3,14666.... Los
siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría, bajo el
impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que
se incluye a Pi con 8 decimales exactos. Adrien Romain (1561-1615) obtiene 15
decimales y Ludolph de Colonia (1539-1610) llega hasta 32. Según su deseo, estos
32 decimales fueron grabados en su tumba, pero en su país la posteridad lo
recompensó mucho mejor pues se dio a pi el nombre de "número de Ludolph".
Pronto la proeza
de Ludolph se vió opacada por lo perfeccionamientos logrados por Snell
(1580-1626) y Huyghens (1629-1655). El primero halla que el arco x está
comprendido entre: 3 sen x /( 2 + cos x) y 1/3.(2 sen x + tg x) mientras que el
segundo, cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, da
la expresión (sen² x tg x)1/3 Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos,
partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de los lados. Huyghens, en
cambio, calcula Pi con 9 decimales exactos utilizando simplemente el polígono de
seis lados.
El cálculo
infinitesimal dió fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y
mucho mas potentes, separó en cierto modo a Pi de sus origenes geométricos y
aclaró el papel fundamental que que juega en todo el análisis matemático. El
matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primer fórmula de Pi
por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar mas que a los
número 1 y 2. Gregory en 1670 desarrolla la fórmula del Arco tangente que, para
x = 1 da la fórmula de Leibniz: PI/4 = 1 - (1/3) + (1/5) -...
Como caso
particular, cabe mencional a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar
por Pi a la relación circunferencia : diámetro y quien en 1775 calculó su valor,
con 20 decimales, en una hora por medio de la fórmula:
Pi/4 = 5 arc
tg 1/7 + 8 arc tg 3/79. Sin embargo, su mayor
descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos
importantes en la matemática, como lo son el número e, i, como así los lazos que
existen entre las funciones circulares seno y coseno, y la función exponencial
ex: ésta es periódica y su período imaginario es 2 i Pi.
Estas verdades
son el resultado común de varias corrientes de ideas. Los logaritmos inventados
por el escocés Neper (1550-1617), no solamente tuvieron gran importancia para
los cálculos numéricos; la función, nula para x = 1, que admite como derivada a
1/x ofrece un sistema de logaritmos particularmente interesantes desde el punto
de vista teórico: los conocidos logaritmos neperianos.
El mas constante
entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático inglés
William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que
veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente, Shanks cometió un
error en el 528º decimal, y apartir de ése todos los restantes están mal. En
1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC, y luego de
setenta horas de trabajo obtuvo 2037 cifras decimales. Tiempo después, otra
computadora consiguió 3.000 decimales en sólo 13 minutos. Hacia 1959, una
computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras. En 1986
David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la Nasa utilizando el
algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica. Finalmente, en 1987, Kanada
consiguió mas de 100 millones de cifras se podrían conseguir facilmente 2.000
millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En
resumen, ya es prácticamente posible tantas cifras como se requiera, y el único
impedimento aparente es debido al tiempo que un ordenador pueda tardar en
conseguirlos.
Lo cierto es que
sólo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades
prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello,
la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la
tierra al sol. Si reemplazamos el sol por la nebulosa mas lejana y el cabello
por el corpúsculo mas pequeño conocido por los físicos, no harian falta mas que
40 decimales. Entonces ¿Que necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizá
ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aún a aceptar cosas que
no pueda llegar a comprender, como por ejemplo el infinito.
Evolución
de Pi a través del tiempo
Persona/pueblo
Año Valor
Biblia ~ 550 AC
3
Egipto ~ 2000 AC
3.1605
China ~1200 A.C.
3
Arquimedes ~300
AC 3.14163
Ptolomeo ~200
AC. 377/120 = 3.14166...
Chung Huing
~300 AC. raiz cuad.(10)
Wang Fau 263
A.C. 157/50 = 3.14
Tsu Chung-Chi
~500 A.C. 3.1415926<Pi<3.1415929
Aryabhata
~500 3.1416
Brahmagupta
~600 raiz cuad.(10)
Fibonacci 1220
3.141818
Ludolph van
Ceulen 1596 35 decimales
Machin 1706 100
decimales
Lambert 1766
Nombró a Pi irracional
Richter 1855 500
decimales
Lindeman 1882
Nombró a Pi trascendente
Ferguson 1947
808 decimales
Ordenador
Pegasus 1597 7.840 decimales
IBM 7090 1961
100.000 decimales
CDC 6600 1967
500.000 decimales
Cray-2 (Kanada)
1987 100.000.000 decimales
Univ. de Tokio
1995 4.294.960.000 decimales
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