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PACIOLI Luca (1445 - 1517)
 Nació
en 1445 y murió en 1517 en Sansepolcro(1), Italia. Su padre fue Bartolomeo
Pacioli, aunque no fue criado en su casa paterna. De chico vivió con la familia
Befolci en Sansepolcro, a unos 60 km. de Perugia.(2)
Piero
della Francesca(3) terna un estudio en
Sansepolcro, donde Pacioli habría recibido sus primeras enseñanzas de
Matemática. Pacioli tenía un gran conocimiento del trabajo de della Francesca,
el cual influyó mucho en Los escritos de Pacioli.
Aún
joven, Pacioli se traslada a Venecia(4), y comienza a trabajar como tutor de uno
de Los hijos de un adinerado mercader llamado Antonio Rompiansi.
Pacioli aprovecha su estadía en Venecia para profundizar los estudios básicos
adquiridos con della Francesca. Estudia Matemática con Domenico Bragadino. En
esta etapa, Pacioli gana experiencia docente en su rol de tutor y en los
negocios atendiendo las actividades comerciales de Rompiansi.
Durante su estadía en Venecia escribe su primer trabajo, que termina en 1470, un
libro de Aritmética dedicado a su empleador.
Al
morir Rompiansi, en 1470 se traslada a Roma, a la casa de Leone Alberti, quien
era secretario en la Cancillería Papal. Ahí comienzan sus relaciones con la
Iglesia. Comienza a estudiar teología y se convierte en fraile de la Orden
Franciscana.
En
1477 Pacioli comenzó a viajar enseñando Matemática, particularmente Aritmética,
en varias universidades. De 1477 a 1480 lo hizo en la Universidad de Perugia,
luego lo hizo en Zara(5), en Nápoles y en Roma.
(1)Pequeño
pueblo aL sur de La Toscana, cerca de FLorencia, Italia.
(2)Ciudad de
ItaLia central, capital de la provincia de Perugia y de La región de Umbria.
(3)Piero
delta Francesca (c. 1420-1492), pintor italiano del temprano renacimiento. Fue
el primer pintor en intentar aplicar de manera sistemática la perspectiva
geométrica a la pintura.
(4)Ciudad
y puerto deL noreste de ItaLia, en La región de Véneto, capital de La provincia
de Venecia.
(5) Actual
Zadar, en Croacia. Formó parte del Imperio Veneciano.
En
1489 regresa a Sansepolcro. Es aquí donde trabaja sobre su obra más famosa,
Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalíta, que dedicó
a Guidobatdo, duque de Urbino , de quien Pacioli había sido tutor.
Pacioli viaja a Venecia en 1494 para publicar su obra Summa. Este libro
es una recopilación de la Matemática conocida hasta el momento, no muestra ideas
originales.
Comprende cinco partes principales: la primera, la más importante y extensa se
ocupa de Aritmética y Álgebra, la segunda es la aplicación de ambas a la
práctica comercial, la tercera se ocupa de la teneduría de Libros, la cuarta de
los distintos sistemas monetarios y en la quinta considera la Geometría pura y
aplicada. En el primer tratado considera los números perfectos e imperfectos, su
naturaleza, Los sistemas de numeración decimal, las progresiones aritméticas y
geométricas, trata acerca de Las fracciones y de las operaciones que con ellas
se hacen, cómo se puede simplificar y buscar el máximo común divisor, la teoría
de Las proporciones, que rige a todas Las cosas, la importancia de la proporción
en La medicina, las proporciones en la mecánica, mezcla de colores,
arquitectura, proporciones en el arte militar, considera las diferentes
operaciones con los polinomios, ecuaciones de grado superior, inferior y de
cuarto grado, y exponenciales.
Las
partes segunda, tercera y cuarta tratan de aritmética comercial, teneduría de
libros, y monedas, una extensa exposición de La partida doble. La quinta parte
dedicada a la Geometría trata los triángulos y Los cuadriláteros, la superficie
de polígonos y resolución algebraica de los problemas relativos, teoría del
círculo, cálculo de volúmenes de figuras sólidas.
También contiene un resumen de Los Elementos de Euclides, y estudia el
tema de los juegos de azar, entre otros temas. A pesar de no hacer aportes
nuevos, es el punto de partida del mayor progreso en Matemática ocurrido en
Europa en esos tiempos.
En
1494 Ludovico Sforza se convirtió en duque de Milán, y en 1496 invita a Pacioli
a enseñar Matemática en su corte, a sugerencia
de Leonardo da Vinci124, que era un entusiasta de la Matemática, y trabajaba en
la corte desde 1482.
(Ludovico Sforza (1451-1508),
miembro de la familia ducal italiana Sforza, que gobernó Milán desde 1450 hasta
1535. Los Sforza patrocinaron a artistas como Leonardo da Vinci.)
En
Milán, Pacioli y Leonardo se hicieron amigos. Pacioli comienza a trabajar en su
segundo libro famoso, Divina proportione. Los dibujos de este libro Los
hizo Leonardo. Este libro se publica en 1509 y trata sobre la razón áurea o
número de oro (el nombre de número de oro se debe a Leonardo da Vinci), aquel
para el que se cumple: a/b=a/(a+b), resolviendo
esta ecuación se obtiene que b=1.61803....., se designa con la letra griega
Fi
El
numero de oro 1,61803... Se juntan el interés matemático y el interés
artístico de Leonardo. Para numerosos artistas representa la máxima expresión de
la Belleza, la proporción perfecta, de ahí que aparezca en innumerables
edificios y obras de arte desde la antigüedad hasta nuestros días.
Es un
libro de interés especial para los artistas y los historiadores generales de la
cultura. En Los cuatro capítulos habla de las reuniones milanesas, trata
ampliamente de la importancia fundamental y universal de la Matemática.
Considera la división de una línea en media y extrema razón (razón áurea) que él
llama divina proporción, por semejanza, a Dios mismo. Entra en los factores para
la construcción del pentágono y de cuerpos regulares, proporción de las
superficies y de su inclusión de Los cinco cuerpos en otros, trata de cuerpos
dependientes de los regulares, esféricos y oblongos (cilindros, prismas, conos y
pirámides). Leonardo da
Vinci dibujó para Pacioli gran
número de figuras geométricas utilizadas. La segunda parte está dedicada a
varios de sus queridos alumnos y discípulos, considera medidas y proporciones
del cuerpo humano, en capítulos posteriores se encuentran temas estrictamente
arquitectónicos.
El
pintor Alberto Durero introdujo el uso de las proyecciones horizontal y vertical
que tres siglos después utilizara Monge.
La razón áurea - el número de oro
Veamos algunas de las ocasiones en que aparece la razón áurea.
a) En un pentágono regular si d es la medida
de una diagonal y la medida de un lado se cumple la relación siguiente:
d/l=//(d+l)
(idéntica relación a la anterior
pero con otras letras)
o
dicho en palabras: La diagonal (d) es al lado (1) >-~-~ d como el lado es la
diferencia entre la diagonal y \ el lado. (También se dice que el lado es medio
proporcional entre la diagonal y la diferencia entre la diagonal y el lado).
La
fórmula anterior es una igualdad entre dos razones es decir es una proporción.
Pacioli, entusiasmado por sus propiedades la llamó la proporción divina. Nombre
con el cual se conoce aún esta relación. Esta relación, como ya vimos, la
conocian los pitagóricos.
b) Una relación fundamental
De la
proporción anterior se puede deducir que la razón áurea F cumple la relación:
F2 = F+1 o dicho de otra forma E
es solución de la ecuación
F2 - F - 1 = O
(ecuación de 2°grado)
c) División de un segmento en una
razón dada
Decimos que el punto B divide al segmento AC en la razón r si el cociente: AB/BC
= r.
Si r
= F (la razón áurea), decimos que el segmento AC se ha dividido en extrema y
media razón o que hemos realizado la división áurea del segmento AC.
Si
AB= x, BC= y la relación x/y es el número áureo; su valor es
1,61803399...
Si
hemos realizado la división áurea del segmento AC, decimos que el segmento AB es
la sección áurea de AC.
El
nombre de división en extrema y media razón procede de Euclides.
Las
diagonales de un pentágono regular se cortan según la razón áurea.
d) el rectángulo áureo es aquel en el cual
la altura y el ancho están en la proporción 1 a F. Es armonioso en sus
dimensiones.
Rectángulo áureo
se
cumple que: b/a=F = 1,618034...
Curiosamente la mayoria de los rectángulos que nos encontramos en nuestra vida
cotidiana son áureos. Por ejemplo las tarjetas de crédito, la cédula de
identidad, un libro, un carnet o cualquier otro rectángulo que tengas a mano.
Podemos dividir la medida más larga entre la más corta y comprobar si da un
número aproximado a F.
Veamos como construirlo. Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno
de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa
distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del
rectángulo.
Si el
lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo
vale:
por
lo que la proporción entre lo dos lados es:
Justamente el Numero de oro
Un
rectángulo de oro tiene una característica muy interesante: si se recorta de él
un cuadrado, el rectángulo que queda sigue siendo un rectángulo de oro. Se
observa con más detalle en la figura:
si al
rectángulo de oro grande Le quitamos eL cuadrado A, el rectángulo B sigue siendo
de oro.
Pues
bien, podemos realizar ese proceso tantas veces como queramos con Los sucesivos
rectángulos de oro que vamos obteniendo, de forma que podemos trazar una espiral
logarítmica apoyándonos en los sucesivos cuadrados que se van formando.
Numerosas conchas de moluscos y crustáceos se desarrollan siguiendo este modelo
de crecimiento, como por ejemplo el Nautilus.
Construccion geométrica de una rectángulo áureo
e) También tos cuerpos humanos exhiben
proporciones cercanas a La razón áurea, como puede verse comparando la altura
total de una persona (b) con la que hay hasta su ombligo (a). Además, si se
divide La distancia del ombligo a los pies entre la del ombligo a La cabeza
también se obtiene F.
Existen también proporciones áureas en pies, brazos, en incluso en Los dedos:
Las falanges dividen el dedo según proporciones de oro.
El
hombre ideal que concibe Leonardo es aquel cuyas dimensiones cumplen con esta
relación.
El hombre de Vitrubio (Dibujo de
Leonardo)
Recientemente, estudios científicos avanzados han demostrado que lo que intuían
estos hombres era cierto. En el campo de la odontología, se ha descubierto que
La dentadura va creciendo siguiendo proporciones áureas, y de la misma forma lo
hacen otros rasgos faciales, como (a sonrisa respecto al arco dental, la
distancia entre los ojos y muchas más. Tal vez por eso los puntos básicos de
acupuntura se distribuyen en la cara en diferentes rectángulos de oro.
Tom
Cruise es uno de Los actores más famosos del mundo. Casualmente posee unas
proporciones áureas casi perfectas: sus ojos, boca, dientes, nariz, cabeza,
están distribuidos de forma que la proporción de oro aparece constantemente.
Lo
mismo ocurre con la actriz Penélope Cruz.
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