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PÉNDULO:
Llamamos péndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo.
Péndulo ideal, simple
o matemático: Se
denomina así a todo cuerpo de masa m (de pequeñas
 dimensiones)
suspendido por medio de un hilo inextensible y sin peso. Estas dos últimas
condiciones no son reales sino ideales; pero todo el estudio que realizaremos
referente al péndulo, se facilita admitiendo ese supuesto .
Péndulo físico:
Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera ,
habremos construido un péndulo físico. Por esto, todos los péndulos que se nos
presentan (columpios, péndulo de reloj, una lámpara suspendida, la plomada) son
péndulos físicos.
Oscilación - Amplitud -
Período y Frecuencia:
A
continuación estudiaremos una serie de procesos que ocurren durante la
oscilación de los péndulos y que permiten enunciar las leyes del péndulo.
Daremos previamente los siguientes conceptos:
Longitud del péndulo (l) es
la distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad del péndulo.
Oscilación simple es la trayectoria descrita entre dos posiciones
extremas (arco AB).
Oscilación completa o doble oscilación es la trayectoria realizada desde
una posición extrema hasta volver a ella, pasando por la otra extrema (arco ABA).
Angulo de amplitud o amplitud (alfa) es el ángulo formado
por la posición de reposo (equilibrio) y una de las
posiciones extremas.
Período
o tiempo de oscilación doble (T) es el tiempo que emplea el péndulo en
efectuar una oscilación doble.
Tiempo de oscilación simple (t) es el tiempo que
emplea el péndulo en efectuar una oscilación simple.
Elongación (e). Distancia entre la posición de
reposo OR y cualquier otra posición.
Máxima elongación: distancia entre la posición de
reposo y la posición extrema o de máxima amplitud.
Frecuencia (f). Es el número de oscilaciones en
cada unidad de tiempo.
f=numero de oscilaciones/tiempo
Relación entre frecuencia y
periodo
T = período ; f = frecuencia
Supongamos un péndulo que en 1 seg. cumple 40
oscilaciones.
En
consecuencia: 40 oscilaciones se
cumplen en 1 seg., por lo que 1 osc. se
cumple en T=1/40 seg
(periodo) .
Obsérvese que: el período es la inversa de la
frecuencia.
En símbolos:
T=1/f y f=1/T
Leyes del péndulo:
Ley de las masas
Suspendamos de un soporte (por ejemplo: del dintel de una puerta) tres hilos de
coser de igual longitud y en sus extremos atemos sendos objetos de masas y
sustancias diferentes . Por ejemplo: una piedra, un trozo de hierro y un corcho.
Saquémolos del reposo simultáneamente. Verificaremos que todos tardan el mismo
tiempo en cumplir las oscilaciones, es decir, que todos “van y vienen”
simultáneamente. Esto nos permite enunciar la ley de las masas:
LEY DE MASAS: Las tres mas de la figura son
distintas entre si, pero el periodo (T) de
oscilación es el mismo. (T1=T2=T3)
Los tiempos de oscilación de
varios péndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su
naturaleza, o también El
tiempo de oscilación de un péndulo
es independiente de su masa y de su naturaleza.
Ley del Isócrono:
Dispongamos dos de los péndulos empleados en el experimento anterior. Separémolos de sus posiciones de equilibrio,
de tal modo que los ángulos de amplitud sean distintos
(pero no mayores de 6 o 7 grados).
Dejémolos libres: comienzan a oscilar, y notaremos que, también en este caso,
los péndulos “van y vienen” al mismo tiempo. De esto surge la llamada Ley del
isocronismo (iguales tiempos):
Para pequeños ángulos de
amplitud, los tiempos de oscilación de dos péndulos
de igual longitud son independientes de las amplitudes, o también: El
tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de la amplitud (o sea, las
oscilaciones de pequeña amplitud son isócronas).
La comprobación de esta ley exige
que los pendulos tengan la misma longitud
para determinar que en efecto los péndulos son isocronos*, bastarà
verificar que pasan simultáneamente por la posiciòn de
equilibrio. Se llegara notar que las amplitudes de algunos de ellos disminuyen
mas que las de otros, pero observaremos que aquella situaciòn
—el isocronismo— subsiste.
Si disponemos de un buen cronometro,
podemos aun mejorar los resultados de esta experimentaciòn.
Procedemos a tomar los tiempos empleados por cada uno, para 10 o 100
oscilaciones. Dividiendo esos tiempos por el número de oscilaciones obtendremos
el de una sola (en casos de mucha precisiòn se llegan a
establecer tiempos para 1.000, lo que reduce el error por cada oscilaciòn
De este modo puede verificarse que en rea1id~ se cumple la ley.
(*) lsòcronos
tiempos iguales.
Ley de las longitudes:
Suspendamos ahora
tres péndulos cuyas longitudes sean:
Péndulo A = (10cm) 1 dm.
Péndulo B = (40 cm) 4 dm.
Péndulo C = (90 cm) = 9 dm.
Procedamos a sacarlos
del reposo en el siguiente orden:
1) El de 1 dm.
y el de
4dm.
2) El de 1 dm.
y el de
9dm.
Observaremos entonces
que:
a) El de menor longitud va más ligero que el otro,
o sea: “a menor longitud menor tiempo de oscilación y a mayor longitud mayor
tiempo de oscilación”.
b) Mientras el de 4 dm.
cumple una oscilación, el de 1 dm. cumple dos
oscilaciones.
c) Mientras el de 9 dm.
cumple una oscilación, el de 1 dm. cumple tres
oscilaciones.
Esta circunstancia ha
permitido establecer la siguiente ley de las longitudes:
Los tiempos de oscilación (T) de dos péndulos de distinta longitud (en el mismo
lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de
sus longitudes.
En símbolos
T1 y T2: tiempos de
oscilación;
l1 y l2 : longitudes.
Para nuestro caso es:
T1= 1 oscilación y l1=
1dm
T2
= 2 oscilaciones y l2 =4 dm.
luego:
Osea: 1/2=1/2
Ahora
para:
T1=1 oscilación y
l1=1
T3=3 oscilaciones y
l3=9
luego:
Osea: 1/3=1/3
Ley de las aceleraciones de las
gravedades: Al
estudiar el fenómeno de la oscilación dejamos aclarado que la acción
gravitatoria tiende a hacer parar el péndulo, pues esa es la posición más
cercana a la Tierra. Significa esto, en principio, que la aceleración de la
gravedad ejerce una acción primordial que evidentemente debe modificar el tiempo
de oscilación del péndulo.
Si tenemos presente
que la aceleración de la gravedad varía con la latitud del lugar, resultará que
los tiempos de oscilación han de sufrir variaciones según el lugar de la Tierra.
En efecto, al
experimentar con un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra (gravedad
distinta) se pudo comprobar que la acción de la aceleración de la gravedad
modifica el tiempo de oscilación del péndulo.
Por ejemplo: si en
Buenos Aires el tiempo de oscilación es T1, y la gravedad g1, en Río de Janeiro
el tiempo de oscilación es T2 y la gravedad g2, se verifica la siguiente
proporcionalidad:
Repitiendo los
experimentos para lugares de distinta latitud (por tanto, distinta gravedad) se
puede verificar proporcionalidad semejante. De lo cual surge el siguiente
enunciado de la Ley de las aceleraciones de la gravedad:
Los tiempos de
oscilación de un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra son
inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la
gravedad.
Fórmula del tiempo de
oscilación del péndulo:
Para poder obtener el
tiempo de oscilación de un péndulo se aplica la siguiente expresión:
t:
tiempo de oscilación;
l:
longitud de péndulo;
g: aceleración de la
gravedad.
que equivale al
período o tiempo de oscilación completa.
Si fuera el
correspondiente para una oscilación simple, aplicamos:
Esta fórmula condensa
en sí las cuatro leyes del péndulo. En efecto, observamos:
1) En esa expresión
no figura la masa m del péndulo, por lo que “el tiempo de oscilación es
independiente de la masa”.
2) Como tampoco
figura el ángulo de amplitud, “el tiempo de oscilación es independiente de la
amplitud”.
3) La 3ra.
y 4ta. leyes
están incluidas en el factor:
,es decir: "los tiempos de
oscilación son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las
longitudes e inversamente proporcionales a la de las aceleraciones de las
gravedades”.
Péndulo que bate el segundo:
De la
expresión:
(tiempo de oscilación simple) resulta que el tiempo de oscilación depende de la
longitud y de la aceleración de la gravedad.
Si en
determinado lugar (g: conocida) deseamos construir un
péndulo cuyo tiempo de oscilación sea un segundo, tendremos que modificar su
longitud.
Ello
se logra aplicando la expresión:
luego:
y
De este modo
para t=1 seg. se logra un péndulo que “bate el segundo”.
Por ello decimos:
Péndulo que bate el segundo es
aquel que cumple una oscilación simple en un segundo.
Para
el lugar cuya aceleración de la gravedad es normal (g=9,806)
la longitud del péndulo que bate el segundo es 0,9936 m, mientras que para el
que cumple una oscilación doble en un segundo será l=
24,84 cm.
Caracterìsticas
del movimiento del péndulo - Fuerzas que actúan:
 Supongamos
el péndulo en la posición de equilibrio AM (Fig. izquierda).
El peso P es anulado por la reacción del hilo y no hay oscilación.
Consideremos la posición OA, procedamos a descomponer la fuerza peso P, según
las direcciones m y n. Obtendremos las fuerzas F1 y F’. La fuerza F’ queda
anulada por la reacción del hilo. (Fig. abajo)
En
consecuencia, en el punto A actúa solamente la fuerza F1, tangente al arco AMB y
que provoca el movimiento del péndulo hacia M.
Si en
el punto A’ efectuamos el mismo proceso de descomposición
de la fuerza (P) peso, observaremos que F2 es menor que F1 obtenida
anteriormente.
Resulta entonces que, a medida que a medida que,
el péndulo se acerca a su posición de equilibrio OM la
fuerza que provoca el movimiento disminuye hasta hacerse cero en el punto M
(peso y reacción se anulan).
A
pesar de ello, el péndulo continúa oscilando. Ello se debe a la inercia que
posee. Si durante este movimiento actúa una fuerza F1, F2, etc., el movimiento
es acelerado (no uniformemente acelerado).
Cuando el péndulo pasa al punto M, el peso del cuerpo actúa como fuerza
negativa, es decir, el movimiento es retardado. Así llegará a un punto B en que
su velocidad se anula, y no sube más (caso análogo al del cuerpo lanzado
hacia
arriba al alcanzar su altura máxima). En ese momento el proceso se
invierte, repitiéndose en sentido contrario, es decir, de B hacia M, continuando
hasta A.
En síntesis:
1) En A, la fuerza F1 hace desplazar al péndulo hasta M
(movimiento acelerado).
2)
En M péndulo debiera quedar en reposo, pero por inercia continúa con movimiento
retardado pues va en contra de la fuerza gravitatoria.
3)
En B, la velocidad del péndulo se ha anulado (y = 0). En ese instante se
invierte el movimiento y se desplaza hacia M. El péndulo continúa oscilando y
cumpliendo el mismo proceso.
En consecuencia:
a)
La fuerza que hace mover al péndulo no es constante.
b) La
dirección y sentido de esas fuerzas son tales, que tienden a que el pendulo
adquiera la posición de equilibrio
c)
Como la fuerza F1 no es constan te, la aceleración tangencial no es constante.
Su dirección y sentido cambian instante por instante.
d) La
velocidad tangencial se anula en los puntos extremos y no es constante. Es
máxima al pasar por la posición de reposo.
Por lo tanto:
El movimiento del péndulo es variado.
Resulta alternativamente acelerado y retardado una vez cumplida cada oscilación
simple y como la aceleración no es constante no es uniformemente variado.
Càlculo de
la fuerza F:
Se
puede demostrar matemáticamente que la fuerza F se puede calcular mediante la
expresión:
donde:
P: peso del péndulo;
l: longitud del péndulo;
e: máxmia elongación.
El péndulo y sus aplicaciones:
Las
aplicaciones del péndulo son variadas. Las más importantes son:
a) Determinación de la aceleración
de la gravedad.
Sabemos que:
Elevando al cuadrado miembro a miembro es:
y
despejando g, es:
en
esta igualdad es: numero pi (constante=3.1415), y l: medible
fácilmente, T: se determina con un buen cronómetro.
Por lo que esta ultima
expresión nos permite calcular con relativa facilidad la aceleración de la
gravedad en un lugar determinado.
Esto
constituye la aplicación científica de mayor importancia del péndulo. Para estas
determinaciones se emplean péndulos reversibles, es decir, péndulos que pueden
oscilar primero alrededor de un eje y después alrededor
de otro. Colocado de tal modo que en cada una de esas posiciones el péndulo
posea la misma longitud, y por lo tanto las oscilaciones son isócronas (igual
tiempo de oscilación).
Así
se logran valores de gran precisión. Se debe tener en cuenta en estas
determinaciones la temperatura, amplitud de las oscilaciones y las influencias
del rozamiento del aire y del soporte del péndulo.
El
método de medición de g, con el péndulo, lo imaginó y expresó Huygens, y fue
aplicado por el físico matemático Borda.
b) Determinación del movimiento de
rotación de la Tierra.
Si
disponemos de un péndulo suspendido de un alambre como indica la
figura, y procedemos a sacarlo de su posición de equilibrio, observaremos
que el plano de oscilación del péndulo no varía al girar el alambre sostén.
Por
tanto: El plano de oscilación de un péndulo se mantiene invariable al
modificarse la posición del “plano sostén”. (figura abajo)
Foucault, haciendo uso de esa propiedad, pudo demostrar la existencia del
movimiento de rotación de la Tierra. Empleó un péndulo que constaba de una
esfera de cobre de 25 kilogramos provista de un fiel y suspendida de la cúpula
del Panteón (París) por medio de un alambre de acero de 79 m de largo.
En el
suelo dispuso una capa de arena húmeda en la cual el fiel de la esfera pendular
marcaba los trazos de sus oscilaciones.
Así
se pudo ver que, a medida que transcurría el tiempo, esas marcas se iban
modificando. Como el plano de oscilación es constante, significaba ello que lo
variable era el plano del soporte, es decir, el Panteón o, lo que es igual, la
Tierra. En realidad, este experimento puede realizarse en una sala ordinaria con
péndulo más corto.
J. BI. Foucault:
Físico francès,
nacido y muerto en París (1819-68). Entre sus trabajos recordamos la invención
del giroscopio, con el que puede determinarse la dirección del meridiano del
lugar sin necesidad de la observación astronc5mica, el método para calcular la
velocidad de la luz en el aire y en el agua, así como la demostración del
movimiento de rotaciòn de la Tierra valiendose
del pendulo.
c)
Medición del tiempo:
Huygens fue quien ideó un mecanismo para poder medir el tiempo. Sabemos
 que,
para determinada longitud, el péndulo cumple una oscilación simple en un
segundo. Por tanto, dando a un péndulo esa longitud, nos indicará, para cada
oscilación, un tiempo igual a un segundo.
En otras palabras, si construimos un péndulo que efectúe en un
día solar medio 86.400 oscilaciones, cada una de éstas nos indica un segundo. Un
péndulo que reúna estas condiciones, aplicado a un mecanismo motor (cuerda o
pesas, que harán mover el péndulo) y a un sistema destinado a contar las
oscilaciones, o sea, los segundos, constituye un reloj de
péndulo.(figura izquierda)
En
los relojes portátiles (de bolsillo, despertadores, etc.) el péndulo está
reemplazado por el volante (rueda) que produce el movimiento oscilatorio del
péndulo.
 Cristian
Huygens:
Matemático y astrónomo holandéss (1629-1695). Fue un verdadero genio de su
siglo. Inventa el reloj de pèndulo, y luego, el resorte
espiral, para los de bolsillo. Enunciò la teoría
ondulatoria de la luz, esbozó’ lo que hoy llamamos teorema de las fuerzas vivas;
haciendo girar una esfera de arcilla, dedujo que la Tierra no podía ser esferica.
PENDULO DE TORSION Y DE
TRACCION:
Péndulo de torsión
 Llamamos
péndulo de torsión al dispositivo formado por un alambro MN, sujeto por uno de
sus extremos —M— a un punto fijo y el otro extremo N unido a una barra AB que a
su vez termina en dos esferas.
Torsión:
Fenómeno que se produce al aplicar al extremo de un cuerpo una
cupla, mientras el otro extremo está fijo. También puede producirse torsión al
aplicar simultáneamente un par de cuplas en cada uno de sus extremos. El péndulo
de torsión permite calcular el momento de una fuerza F perpendicular al eje de
torsión (alambre MN).
Factores que determinan su perìodo
o frecuencia:
Apliquemos a los extremos de la barra AB la cupla F1=F2.
La barra AB pasaría a la posición A’B’ girando un ángulo a y el alambre sufre
una determinada torsión.
Liberada la barra AB de esa cupla, el alambre tiende a
volver a su posición primitiva debido a la existencia de fuerzas elásticas
recuperadoras. En estas condiciones la barra AB comienza a oscilar como un
verdadero péndulo físico.
Si
deseamos detener al péndulo en el momento que forma el ángulo a será necesario
aplicar una fuerza que anule la torsión del alambre. Esta
fuerza será mayor o menor según sea el punto de aplicación respecto del centro
de giro (respecto del alambre).
Puede
verificarse que la intensidad de esta fuerza es la misma que hubiéramos
necesitado para que desde la posición de reposo la barra AB formara el ángulo de
torsión alfa.
De lo
expuesto surge que todo depende del momento de la fuerza aplicada (fuerza por
distancia).
Se
puede comprobar que entre el momento de la fuerza aplicada y el ángulo de
torsión a determinado, se cumple la siguiente relación:
En el
péndulo de torsión, se cumple:
El
tiempo de oscilación es independiente del ángulo de
amplitud.
El
tiempo de oscilación se calcula mediante la expresión:(*)
(*):Para el péndulo físico es:
(Para ángulos pequeños: P.d=K)
Similar
a la del péndulo físico en la cual es
I: momento de inercia respecto al eje (hilo);
K:constante que resulta del cociente entre M y alfa.
Péndulo de tracción:
Elasticidad por tracción:
Es el fenómeno producido por fuerzas que provocan el aumento de
longitud de un cuerpo.
Sea
el alambre a sujeto por un extremo M, y en el otro
extremo, un platillo. Si sobre éste colocamos una
pesa P, cualquiera, se provocará una fuerza que permitirá
verificar un estiramiento o aumento de longitud del alambre. El dispositivo
descripto constituye un péndulo de tracción.
Repitamos el experimento variando los pesos y observaremos que
a mayor fuerza (peso) se verifica mayor estiramiento. Como es natural
pensar, hay ciertos valores para la carga o fuerza F aplicada, en que los
estiramientos dejan de ser proporcionales a esas fuerzas.
Existe entonces una tensión (fuerza aplicada) máxima para la cual se produce el
estiramiento que permite recobrar al cuerpo su longitud inicial una vez
desaparecida esa tensión. Las fuerzas elásticas recuperadoras tienden a llevar
al cuerpo —alambre— a su posición o longitud primitiva.
Se
produce así un movimiento oscilatorio que tiene un determinado período, que
puede calcularse mediante la expresión:
Formula similar a la estudiada inicialmente para
un péndulo de longitud l.
Fuente Consultada:
Física de Carlos Miguel Para Las Escuelas de Educación Técnica
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