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Introducción:
Antes de
abordar la historia de la Geometría alejandrina y como complemento a lo dicho
en el capítulo anterior, vale la pena de hablar de los tres problemas que
más preocuparon a los griegos desde que aquella ciencia empezó a Construirse
racionalmente. Estos tres problemas son: la duplicación del cubo, la trisección
del ángulo y la cuadratura del círculo, que los griegos no supieron resolver.
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ni nosotros tampoco. La única
ventaja que tenemos sobre ellos es la de saber por qué son irresolubles. Como
dichos problemas han trastornado a tantas cabezas de aficionados a la Matemática
y todavía existe una pintoresca fauna de locos inofensivos que cree haberlos
resuelto, conviene precisar lo que quiere decir “resolver un problema” que es,
precisamente, lo que no saben los pobres ilusos que se caracterizan tanto por
su ignorancia de Matemática actual y de la historia de esta ciencia como la
testaruda resistencia pasiva que oponen a todo intento para convencerles de su
error.
En primer
lugar, decir que un problema es irresoluble no tiene sentido si no se indica con
qué medios o instrumentos, porque pudiera ocurrir que un problema que n tiene
solución con ciertos recursos, la tenga con otros; y e segundo lugar, hay que
distinguir entre la posibilidad y resolubilidad de de un problema:
un problema es posible cuando admite una solución, aunque ésta no se pueda
obtener por medio de construcciones elementales, de modo que la resolubilidad es
un concepto relativo porque, en sentido absoluto, todo problema posible es
resoluble.
La resolución
de un problema consiste esencialmente en reducirlo a otro ya resuelto, y, por
tanto, se debe llegar a uno, considerado como fundamental, cuya solución se
supone dada por uno o varios de los postulados que se refieren al uso legítimo
de los instrumentos necesarios para ciertas construcciones geométrica que para
los griegos .eran la regla y
el compás: únicos
aparatos de su actividad matemática hasta el punto de que no concedían carta de
naturaleza científica a las figuras cuya construcción exige instrumentos
distintos de aquéllos.
Con la regla
se puede construir la recta que pasa por dos puntos, el punto común a dos rectas
no paralelas, y, en general, los problemas de primer grado, es decir: los que,
expresados en lenguaje analítico, sólo contienen la primera potencia de la
incógnita, y si en el problema entran nociones métricas como las de paralelismo,
longitudes de segmentos, valores angulares, etc., es irresoluble con la regla;
con el compás es posible describir una circunferencia centro y radio dados, o de
centro dado y que pase por punto dado, y determinar los puntos comunes a dos
circunferencias secantes, y, por último, con la regla y el compás son resolubles
muchísimos problemas siempre que su expresión algebraica sólo contenga raíces
cuadradas. Modernamente se ha demostrado que la regla y el compás se pueden
sustituir por una regla de bordes paralelos; pero esto no lo sabían los griegos
ni lo saben tampoco los actuales cultivadores de la Matemática patológica.
1) Duplicación del Cubo:
El de la
duplicación del cubo tiene un origen fabuloso y constituye el tema de una carta
de Eratóstenes al rey Ptolomeo, que dice así: “Cuéntase que uno de los antiguos
poetas trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el momento en que se
construía la tumba de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies por cada
lado, dijo: “Es un espacio muy pequeño para sepulcro de un rey; duplicadla
conservando su forma cúbica, duplicando cada lado”. Es evidente que se
equivocaba porque duplicando los lados de una figura plana se cuadruplica,
mientras que una sólida se octuplica; y entonces, se propuso a los geómetras la
cuestión de duplicar una figura sólida dada conservando su forma, y este
problema se llamó duplicación del cubo. Después de un largo período de
incertidumbre, Hipócrates de Quío encontró que si entre dos rectas, una de las
cuales es doble de la otra, se insertan dos medias en proporción continua, el
cubo quedará doblado, con lo que no hizo sino transformar la dificultad en otra
no menor. Se cuenta también que, más tarde, los de Delos, obligados por el
oráculo a duplicar el altar, tropezaron con la misma dificultad y entonces
enviaron embajadores a los geómetras que, con Platón, frecuentaban la Academia,
para que resolvieran la cuestión. Se ocuparon de ella diligentemente y se dice
que, al proponerse insertar dos medias entre dos rectas, lo consiguieron
Arquitas de Tarento con el semicírculo y Eudoxio mediante ciertas curvas.
A
estos siguieron otros que se
esforzaron por hacer más perfectas las demostraciones; pero no pudieron efectuar
la construcción y acomodarla a la práctica, excepto, acaso, Menecmo, y cón gran
trabajo”.
En este
importante documento hist6rico, Eratóstenes se hace eco de dos fábulas: una toma
como punto de partida la escena en que Eurípides hace cometer al legendario rey
de Creta, ante la tumba de su hijo, el error de decir que duplicando la arista
de un cubo se duplica su volumen, error que corrige Eratóstenes haciendo
observar que duplicando los lados de una “figura plana” —el cuadrado— se
cuadruplica [su área] (fig. 13) y haciendo lo mismo con una “sólida” —el cubo
(fig. 14) se octuplica [su volumen]; y la otra leyenda alude a la orden de la
pitonisa de Delos de duplicar el altar dedicado a Apolo para aplacar la ira de
los dioses que habían desencadenado una epidemia en la isla.
Es probable
que el problema de duplicar el cubo, también llamado problema de Delos o
problema délico, no fuera inspirado por la megalomanía de Minos ni por el
oráculo de la sibila, sino por los propios geómetras puesto que sabiendo desde
los tiempos de Pitágoras que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro
tiene doble área que éste (fig. 15), es decir: sabiendo duplicar el cuadrado
mediante la construcción gráfica de la raíz cuadrada de 2 y guiados por su
espíritu de generalización, parece natural que quisieran trasportar al espacio
el mismo problema, lo que les llevó al de extraer la raíz cúbica de 2, y ante la
imposibilidad de construir con la regla y el compás la arista de un cubo
de doble volumen que otro, redujeron el problema a otro y, según Eratóstenes,
fue Hipócrates de Quío el primero que lo intentó.
Este geómetra
—a quien no hay que confundir con su homónimo y contemporáneo el de Cos, padre
de la Medicina— nació hacia 450 antes de C.
y fue comerciante hasta que los recaudadores de la Aduana ateniense que residían
en el Quersoneso lo despojaron de sus bienes y, para reclamar los, se trasladó a
Atenas, cuyos ciudadanos se burlaron de él por la ingenuidad que suponía en un
extranjero creer que se le iba a hacer justicia. Otros historiadores opinan que
la, presencia de Hipócrates en la capital del Ática obedeció al intento de
recuperar. las mercancías de uno de sus barcos apresados por piratas atenienses
en las proximidades de Bizancio, lo cual era también una tontería.
Sea de ello lo
que fuere, es lo cierto que Hipócrates aparece en Atenas por los años de 430, y
mientras gestionaba la reivindicación de sus derechos —en lo que están de
acuerdo todos los eruditos, ya que no en la causa de la reivindicación— asistió
a las lecciones de los filósofos y abrió una escuela de Geometría que fue la que
echó las bases del método de reducción que, como hemos dicho antes, consiste en
trasformar un problema en otro ya resuelto.
Es posible que
tal procedimiento, que parece inseparable de la investigación matemática,
hubiera sido empleado antes de Hipócrates, pero fue éste quien descubrió d trato
lógico común a muchos métodos para resolver problemas y demostrar teoremas y
quien lo aplicó cuestiones.
Conclusión:
Los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo, son problemas
irracionales, es decir problemas cuyas soluciones son irracionales, y como
dependen de ecuaciones de tercer grado no se pueden resolver con a regla y el
compás por exigir construcciones en el espacio. La cuadratura del círculo es de
otra naturaleza, pues depende del número PI que no puede ser solución de ninguna
ecuación de coeficientes enteros, según demostró Lindemann el año 1882, y, por
tanto, dicha cuadratura también es imposible con regla y compás.
A pesar
de que desde el año 1775 la Academia de Ciencias de París tomó el acuerdo
—adoptado después por otras— de rechazar las pretendidas soluciones de estos
tres problemas, siguen lloviendo sobre las corporaciones, científicas multitud
de comunicaciones acerca de los mismos, que, naturalmente, van a parar al cesto
de papeles sin ser leídas, y esto —que ya está divulgado hasta la saciedad en
libros y revistas— no ha bastado, ni basta, ni bastará para curar la enfermedad
que padecen los duplicadores, trisectores y cuadradores, a los que hay que
añadir los “demostradores» del Postulado de Euclides, empeñados en no emplear
más armas que las de los griegos antiguos porque ignoran la existencia de las
bombas atómicas de la Matemática actual que han demostrado la insuficiencia de
los primitivos artefactos bélicos. Ni qué decir tiene que la ignorancia de los
duplicadores, trisectores, cuadradores y postuladores, va unida a una insigne
pedantería que les inspira un olímpico desdén por quienes les aconsejan
honestamente que se enteren de los trabajos hechos por sus predecesores para
soslayar el peligro de descubrir Mediterráneos, porque todos ellos excepción— se
creen genios desconocidos, y desde 1uego superiores al medio matemático de su
época, y los más enterados se consideran en el caso de un Ruffini, que no con
siguió que el Instituto de Francia examinara su demostración de la
imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones algebraicas de grado
superior al cuarto, o de un Grauss, que no quiso publicar sus investigaciones
sobre las Geometrías no-euclídeas por temor al “clamoreo de los beocios”.
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