Movimiento de los Satélites

ESTUDIO FÍSICO-TEÓRICO SOBRE LA TRAYECTORIA DE LOS SATÉLITES

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LOS VIAJES ESPACIALES:

Los viajes espaciales difieren de los habituales desplazamientos sobre la superficie terrestre por un detalle fundamental: estos últimos se efectúan bajo la acción de la fuerza de gravedad  terrestre cuyo valor es siempre el mismo.

Este concepto se aclara recordando que los movimientos de un tren, un auto, una bicicleta o un avión se realizan siempre a idéntica distancia del centro de la Tierra, salvo muy pequeñas variaciones que carecen de importancia. Son desplazamientos cuya dirección forma ángulo recto con el radio del planeta y, por consiguiente, la fuerza de atracción gravitacional que sufren es permanentemente idéntica.

En un viaje espacial, la dirección del movimiento forma con el radio de la Tierra un ángulo distinto del recto. Si se asciende verticalmente para alcanzar grandes alturas (varios cientos de kilómetros) el valor del ángulo será cero, puesto que el vehículo se aleja en la dirección de uno de los radios.

Claro está que para que esto sea posible se debe vencer la fuerza de atracción terrestre. Véase, por ejemplo, lo que ocurre con los cuerpos que llegan a la Tierra desde el espacio:cuando chocan con la superficie, la velocidad que traen es similar a la que tendrían si provinieran de una distancia infinita. Esa misma velocidad adquirida por el objeto que se precipita, pero aplicada en sentido contrario, es la que necesita un cuerpo para vencer la fuerza de gravedad, escapar de la atracción del planeta y desplazarse hasta una distancia teóricamente infinita. Esta velocidad se denomina velocidad de escape o velocidad parabólica.

 Viajes a la Luna y a los planetas

Un vehículo espacial que desde la Tierra se dirige a la Luna, o mejor dicho, hacia el punto del cielo donde la hallará, no necesita mantener su velocidad de escape de 11,2 km/s durante todo el trayecto. Mientras más se aleja del lugar del lanzamiento, la atracción gravitacional terrestre se debilita, de manera tal que la velocidad necesaria para vencerla va disminuyendo a medida que prosigue el viaje y, consecuentemente, la atracción de la Luna aumenta cuando el vehículo se le aproxima. Por este doble proceso —debilitamiento de la atracción terrestre por una parte, y aumento del campo de atracción gravitacional de la Luna, por la otra— se alcanza un punto en que ambas fuerzas se igualan, punto que se encuentra a unos 38 000 kilómetros de la Luna. Si el vehículo lo sobrepasa, cae dentro de la atracción lunar.

Para lograr que el impacto con la superficie de la Luna sea más suave, a nave debe cruzar la línea de separación entre las dos fuerzas gravitacionales a la mínima velocidad posible, porque de no ser así el choque resultará más violento. El impacto en la Luna, en una caída libre, se produciría a la velocidad de escape —que en la misma es de 2,4 km/s— más la velocidad de la Luna en su órbita.

El proyecto de un viaje a la Luna con un vehículo espacial y su regreso posterior a la Tierra, contempla, como mínimo, cuatro maniobras principales:

a. salida de la Tierra;

b. disminución de la velocidad al cruzar la línea de equilibrio;

c. salida de la Luna;

d. disminución de la velocidad cuando, de regreso a la Tierra, cruza la línea de equilibrio.

Una vez lanzado desde la Tierra, el vehículo espacial se mueve a lo largo de una órbita determinada, que es el resultado de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre él. Intervienen la fuerza de atracción de la Tierra, de la Luna y del Sol, pero influyen también otros efectos, como la resistencia de la atmósfera terrestre al moverse la nave cerca de la Tierra, la presión de la radiación originada en el Sol, etcétera.

De esta manera, y para comprender el desarrollo de las investigacio­nes espaciales, es necesario estudiar cómo se realiza el movimiento orbital de una nave espacial. Para ello, y con el objeto de simplificar el problema, se analiza a continuación el movimiento de una de ellas bajo la influencia de un cuerpo celeste.

Movimiento en una órbita (Ver También: Movimiento de los Planetas)
Consideraciones Físicas


Sea un cuerpo de masa m que se traslada alrededor de otro de masa M, y tales que m es considerablemente menor que M. Si el cuerpo M ocupa uno de los focos de la elipse descripta por m, y a es el semieje mayor de la órbita de éste, su velocidad de traslación V está dada por:

V2= G. (M + m).(2/r – 1/a) [1] 

donde G es la constante de gravitación 6,67 x 10-8 cm3/g s2. La fórmula [1] se conoce como ecuación de la energía.

La distancia r entre ambas masas se denomina radio vector y toma un valor distinto en cada punto de la elipse. En estas circunstancias, el cuerpo de masa m es un satélite del cuerpo de masa M, como es el caso de la Luna respecto de la Tierra, o de un planeta como la Tierra en relación con el Sol.

 

Orbita elipitica descripta por un satelite de masa m y velocidad v

 

Para una órbita cerrada (un círculo o una elipse), el semieje mayor a debe ser positivo y finito. Para una órbita parabólica resulta a =oo (infinito) para una órbita hiperbólica a es negativo.Si la órbita es parabólica, los cuerpos se alejan uno del otro, y reemplazando en [1] 1/a , resulta:

V2p=G . (M+m).2/r                             [2]

                                                  

que se denomina, también, velocidad de escape. 

Para la velocidad en una órbita circular donde:  a=r 

V2c=G . (M+m).1/r                                             [3] 

Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (2) y (3) se tiene:

 

V2p=G . (M+m).2/r
-------=------------------

V2c=G . (M+m).1/
r 

 Se tiene  

V2p
       ------------- =
2
V2
c
 

Osea:

V2p=2. V2c

 Si se conoce el valor de la velocidad circular y0 para una determinada órbita, se puede obtener fácilmente la velocidad parabólica o de escape, Vp, para la misma órbita.

Velocidad en una órbita elíptica.

Si un cuerpo, como es por ejemplo cualquiera de los satélites artificiales que giran alrededor de la Tie­rra, se mueve sobre una órbita elíptica de acuerdo con la fórmula [11, alcanza su máxima velocidad en el perigeo, y la mínima, en el apogeo.

Si la masa m del satélite es muy pequeña con respecto a la masa M del planeta, que es el caso más común, se puede despreciar m, de donde (véase fórmula [1]):

V2= G. M (2/r – 1/a)                        [4]

 

donde G.  M es el producto de dos constantes, o sea otra constante k que para el caso de la Tierra vale:

 

K=G.MT=4,OX 1020 cm3/s2 

pues G = 6,67 x 10-8 cm3/ g s2 y MT= 6 x 1027 g. 

Cuando el satélite se desplaza desde el perigeo hacia el apogeo, el radio vector r aumenta de valor y, de acuerdo con a fórmula [4], la velocidad orbital V disminuye. En cambio, Cuando se traslada desde el apogeo hacia el perigeo, la distancia r disminuye y, entonces, la velocidad V aumenta. Luego, conocido el valor del radio vector r en un punto cualquiera de una órbita de semieje mayor a, se puede deter­minar fácilmente su velocidad en esa posición de la órbita.

Un caso particular de la elipse es la circunferencia, pues en ésta el radio vector r es siempre igual al semieje mayor a, y resulta r = a = R siendo R el radio de la circunferencia. En este caso:
 

V2c =K/R

 En la parábola, en cambio, el semieje mayor es infinito, o sea 1/a=0 ;  y como además r = R, distancia al centro de la Tierra, se tiene: 

V2P = 2. K / R

 Velocidad parabólica o de escape.
Como ya señalamos, para alejarse de la Tierra cumpliendo una travesía espacial, un vehículo debe vencer la fuerza de atracción de la Tierra, y ello se puede lograr acelerándolo hasta una determinada velocidad. Según la ley de atracción universal, la fuerza gravitacional de la Tierra varía con la distancia, y por lo tanto también varía la velocidad de alejamiento necesaria. Esa velocidad depende de la masa del cuerpo de donde parte el vehículo y de la distancia al centro del mismo (planeta o satélite). El cálculo de la velocidad de escape o velocidad parabólica desde un cuerpo de masa M se efectúa por medio de: 

V2P= G. M. 2/R 

donde R es la distancia desde la superficie al centro del planeta o saté­lite. Para el caso de la Tierra, donde R radio de la Tierra 6,3 x  108 cm, resulta: 

V2P = 2.K /R=   2 x 4 X 1020cm31s2 = 1.27 x 1012cm2/s2 R 6,3x108cm

           VP = (raíz cuadrada de 1.27 x 1012 cm2/s2)

VP = 1.12 x 106 cm/s 

VP = 11.2 km/s=40.320 km/hora 

A 5000 km. de altura sobre la superficie de la Tierra la velocidad de escape disminuye a: 

V2P =  8x 1020cm3/s2 /11,3 x 106cm =  7,1 x 1011 cm2/s2
          
 

de donde:            Vp= 8,4 km/s = 30.240 km/hora 

En este caso se considera R = 6300 km + 5000 km. 

En la tabla siguiente se presentan las velocidades de escape para la Luna, los planetas y el Sol.

     VELOCIDAD DE ESCAPE PARA ASTROS DEL SISTEMA SOLAR

                          Velocidad                                    Velocidad
      CUERPO      de escape              CUERPO      de escape
                                (km/s)                                   (km/s)

   Luna                     2,4                 Saturno              35,4

   Mercurio               4,3                 Urano                  21,6

   Venus                 10,3                 Neptuno             22,8

   Tierra                 11,2                 Plutón                ¿?

   Marte                5,0                  Sol                     620,0

   Júpiter                59,5    

En resumen: la velocidad de escape es la necesaria para que la órbita del vehículo resulte una parábola y por lo tanto, el tiempo necesario para regresar al punto de partida resulte infinito. 

Órbitas de los satélites terrestres artificiales

La colocación de un satélite en órbita consiste en elevarlo a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra (mayor de 100 km) y luego darle una dirección y velocidad determinadas. En esas condiciones si se establece el perigeo de la órbita a esa altura, las dimensiones de la órbita y su excentricidad dependerán de la velocidad que adquiera el satélite, todo lo cual resulta de:

                                                   V2Per = K(2/rp – 1/a) 

Como el foco de la elipse estará en el centro de la Tierra, la introducción de un satélite en órbita significa que rp es un valor constante (distancia del perigeo al centro de la Tierra). De esa manera, un aumento de Vper determina el correlativo aumento del semieje mayor a de la órbita (ver fórmula [5]).

Órbitas de los vehículos espaciales enviados a Marte y a Venus

Para que un vehículo espacial lanzado desde la Tierra pueda llegar a Marte, debe describir una trayectoria elíptica cuyo perihelio se hallará en un punto próximo a la posición que ocupa la Tierra en el momento del lanzamiento. La velocidad del vehículo deberá ser algo mayor que la velocidad de traslación de la Tierra.

Trayectoria descripta por un vehiculo espacial lanzado desde la Tierra hacia Marte

El semieje mayor de la órbita elíptica descripta por ese vehículo se calcula así: 

(ar + am)/2 

fórmula donde ar es el semieje mayor de la órbita de la Tierra, e igual a 1 UA; y am es el semieje de la órbita de Marte, e igual a 1,52 UA. En consecuencia, el semieje de la órbita del vehículo espacial tendrá este valor: 

a= (1 + 1.52)/2=1.26 UA



Consecuentemente, el afelio de la órbita se encontrará en las cercanías de Marte. La velocidad que se debe imprimir al vehículo puede ser calculada con la fórmula [1], pues se conoce el semieje mayor de su órbita y la longitud del radio vector r, igual a 1 UA. Como la masa del Sol M = 2 x 1033 g, y la constante de gravitación G = 6,67 x 10B cm3/g s2, resulta:

 V2 = 1,34 x 1020 m3/s2  (2/r – 1/a)= 1/ 1.5 x 10 11 m/UA

 donde se ha despreciado la masa m del vehículo espacial por su pequeñez con respecto al Sol. En esta fórmula se divide por el número de metros que hay en una unidad astronómica.

Efectuando el cálculo resulta:          

V2 = 1.34 x 1020 / 1.5 x 1011  (2-1/1.26)=10.7 x 108

 V=3.27 x 104 m/s= 32.7 km/s

 

Por comparación, la velocidad de la Tierra en su órbita es de: 

V2= 8.9x 108 (2— 1) = 8.9x108  m2/s2

V=2.96X 104m/s=29,6 km/S

 menor que la velocidad necesaria para llegar a Marte.

El tiempo que emplea el vehículo espacial en su viaje a Marte, es decir para llegar desde el perihelio al afelio, se calcula de acuerdo cor la tercera ley de Kepler, pues:

P a3/2 =(1.26)3/2=1.41 años 

Éste es el tiempo que emplea para recorrer toda la órbita. Para ir del perihelio al afelio invierte la mitad de ese tiempo, o sea 0,70 años=8½ meses. Por supuesto, el viaje debe ser planeado de tal manera que cuando el vehículo alcance su afelio, Marte debe encontrarse también en ese punto.

Trayectoria descripta por un vehiculo espacial lanzado desde la Tierra hacia Venus


El viaje de regreso desde Marte hacia la Tierra es similar a la trayectoria que cumplirá un vehículo espacial enviado desde la Tierra hacia un planeta interior, como por ejemplo hacia Venus. En este caso será el afelio el que estará muy próximo a la Tierra y el perihelio coincidirá con Venus. Luego el semieje mayor de la órbita del navío espacial será:

a= (aT + aY)2=(1+0.72)/2=0.86 UA

Fuente consultada: Astronomía Elemental de A.Feinstein


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