NICOLAS TARTAGLIA, Matemático

EL GRAN MATEMÁTICO DEL RENACIMIENTO- LA ECUACIÓN DE TERCER GRADO

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El matemático italiano Nicolás Tartaglia ideó el método de resolución de ecuaciones de tercer grado. El tratamiento de la ecuación cúbica general proporcionó, por vez primera, argumentos válidos para la aceptación de los números complejos.

Nicolás Tartaglia nació en Brescia (Italia) en 1499. Su verdadero nombre era Nicolo Fontana; al parecer, «Tartaglia» era un apodo que se le adjudicó a consecuencia de su tartamudeo (tartaglia significa el que tartamudea). Una herida de infancia, recibida en la boca durante el saqueo de su ciudad natal (1512) por las tropas de Gastó de Foix, le impediría hablar bien durante el resto de sus días.

De formación autodidacta, se especializó en geometría y matemáticas y llegó a ser profesor de esta última materia en las ciudades de Viena, Mantua y Venecia. En 1 535 fue retado en un torneo matemático en el que se planteaban diversos aspectos relacionados con la ecuación de tercer grado; tres días antes de su clausura, lartaglia descubría la solución a la ecuación x3 + Ax2 + Bx + C = O, lo cual le permitió resolver sin problema todas las cuestiones planteadas en el concurso.

Tartaglia comunicó el hallazgo a su colega Cardano, quien, a pesar de haberle prometido que no lo divulgaría, publicó en su obra Ars Magna la teoría completa de la ecuación de tercer grado. Hay quien afirma, no obstante, que fue Cardano quien encontró la solución a las citadas ecuaciones antes que Tartaglia.

La moderna teoría de la probabilidad toma también en cuenta las aportaciones del matemático, que, como otros de su época, realizó diversas investigaciones acerca de los juegos de azar. Además, Tartaglia fue el introductor de las matemáticas al arte militar.

En 1 546 publicó su obra más importante, Preguntas e inventos diversos. En ella se extiende acerca de cuestiones relacionadas con el álgebra y en la teoría de la ecuación de tercer grado; trata también de las matemáticas aplicadas a la balística y los explosivos y al levantamiento de planos.

Un año antes de su muerte —falleció en 1557, en Venecia— comenzó a escribir su Trattato de numen et misure (Tratado general de números y medidas), que no vería publicado en vida. En él compila las reglas del álgebra, la geometría y la aritmética, y también las de la física. Recoge, además, numerosos ejemplos de las matemáticas aplicadas a los juegos de azar.  

Resolución de la ecuación de tercer grado

Sea una ecuación de tercer grado cualquiera, por ejemplo x3 5x2 + 17x 13 = 0. Su resolución, según Tartaglia y Cardano, es la siguiente: 

Se reduce a la forma X3 + pX + q = 0, mediante el cambio de variable oportuno.

En este caso X = x + 2.

 La ecuación anterior se convierte en:

                                                        X3—18X—35 = 0                                                      (I

Haciendo un nuevo cambio de variable: X = u + v, y teniendo en cuenta que:

 (u + v)3 = u3 + 3uv v (u + v) + v3, resulta:  

X3=u3+ 3u.v(u+v)+v3=u3+3uvX+v3X3-3uvX-(u3+v3)    (II)

Comparando las ecuaciones (I) y (II) se llega a:

3u v= 18
u3
+ v3= 35

El sistema anterior se puede resolver de la siguiente manera: 

(u3 + v3)2 = 352 ==> u6 +2u3 v3 + v6 = 1225 ==> u6 - 2u3 v3+ 4u3 v3 + v6 =1225

==> (u3—v3)2= 1225-4u3. v3 ==> (u3—v3)2 =1225—4.(18/3)3=

1225-864=361 ==> u3-v3=19

Por tanto, el sistema queda reducido a: 

u3+v3=35
u3—v3=19

Resolviéndolo, se obtiene u
= 3, y = 2. Deshaciendo los cambios de variable:

 X = u + v = 5 x = X - 2 =3 

Por tanto, x = 3 es una raíz de la ecuación inicial de tercer grado, por lo que se puede expresar:

(x —3) (x2 + 9x + 21) = 0 

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen las otras dos soluciones. En este caso existen para ella soluciones complejas, concretamente x = —9/2 + 3/2 i, x = —9/2 3/2 i.

El triángulo de Tartaglia

Es posible calcular la potencia de un binomio a partir de la fórmula de Newton, en la cual los coeficientes de los distintos términos que componen su desarrollo son números combinatorios:

  

 Los coeficientes del desarrollo verifican las propiedades siguientes: 

—          El coeficiente de un término cualquiera es siendo n m el exponente de a y m el exponente de b.

—          Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos en el desarrollo son iguales.

Por ejemplo:

(x + y)3 =x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3

(x+y)5= x5+ 5x4y+ 10x3 .y2+ 10x2 . y3+ 5xy4+ y5

Si se observan los coeficientes del desarrollo de una potencia cualquiera de un binomio, se puede construir una tabla triangular como la siguiente, formada por nú­meros enteros dispuestos en líneas horizontales, que constituyen los coeficientes: 

Y así sucesivamente. (figura 1)
La tabla anterior se conoce como triángulo de Tartaglia. Sin embargo, fue Pascal quien relacionó por vez primera los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio con los números combinatorios, por lo que, expresado de la forma siguiente, se conoce también como triángulo de Pascal:  

  Y así sucesivamente. Para obtener de forma sencilla los coeficientes de la potencia de un binomio basta con observar preferentemente en el triángulo de Tartaglia (resulta mucho más sencillo que en el de Pascal), lo siguiente: 

-El vértice superior (fila 0) es la unidad, y los dos números de la primera fila son siempre 1.

-Los extremos de todas las filas son siempre 1.

- Cada uno de los números en una fila (excepto los extremos) resulta de sumar los dos que tiene  inmediatamente por encima. Construir de esta manera el triángulo de Tartaglia y obtener los coeficientes de cualquier potencia de un binomio es sumamente sencillo (figura 1).

No obstante, para una potencia elevada es laborioso llegar a obtener la fila deseada en esa tabla, por lo que se recomienda, entonces, aplicar las propiedades de los números combinatorios.


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