ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
CALCULO DE LAS RAÍCES EN ECUACIONES CUADRÁTICAS
Por Silvia Ele Profesora de Matemáticas

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 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA 2da. Parte

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 La  Resolución Geométrica Árabe

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Hola, ¿seguimos sufriendo? ....

Hemos visto la resolución de ecuaciones cuyo coeficiente del término cuadrático es 1, y ahora veremos cómo hacerlo en las que no lo tienen igual a 1.

ECUACIÓN GENERAL

Sea $ax^{2}+bx+c=0$ con $a$ distinto de 1.

Acudiremos al socorrido truco de dividir ambos miembros de la igualdad por el mismo número $a.$De este modo, obtendremos una NUEVA IGUALDAD, distinta de la anterior, pero que constituye una ecuación EQUIVALENTE a la anterior, es decir, con raíces iguales a las de aquella. (Más adelante, probaremos esta afirmación).

Procederemos:

MATH se convertirá en MATH donde $\frac{a}{a}=1$ $\ \ $y MATH $,$así que será MATH

Si ahora aplicamos la "resolvente" (como le dicen los más confianzudos a la fórmula que aprendimos antes), reemplazando

$b$ por $\frac{b}{a}$ y $c$ por $\frac{c}{a}$, nos quedará: MATH (AB)

donde la expresión subradical quedará MATH y, entonces, será

MATH (A) y MATH (B)

Si queremos simplificarnos la vida, podemos efectuar la trasformación de los coeficientes antes de aplicar la fórmula, como en este ejemplo, donde:

MATH , dividida en ambos miembros por 3, quedaría

MATH que, resuelta como antes aprendimos, daría

MATH , es decir MATH , o sea $x_{1}=1$

y MATH , es decir MATH , o sea $x_{2}=-3$

Para estar seguros, reemplazamos la $x$ con estos valores en la ecuación original.

¿Es MATH? Sííí. ¿Y también MATH? Sííí. (¡Qué alivio!)

O bien, podemos buscar una nueva versión de la fórmula para ecuaciones de 2º grado ( recordemos que este nombre implica sí o sí que $a$ es distinto de $0$, porque de no serlo no habría término cuadrático, y la ecuación NO sería de 2º grado) que sirva cuando $a$ es distinto de $1.$

Veamos: Si tomamos (AA), y desarrollamos, tendremos MATH

MATH MATH ,

y extrayendo denominador común $a$ en el numerador y pasándolo al denominador, queda MATH

Fórmula que, ahora sí, puede aplicarse a todos los casos de resolución.

Veamos: si $a=1,$ queda la fórmula (AB), que ya estudiamos.

Retomando el caso 2.1 del capítulo anterior, si $\ a$ es distinta o no de $1,$ y $b=0$, la fórmula queda como MATH y esto es lo mismo que MATH que es lo mismo que MATH que es lo mismo que habíamos hallado en el punto 2.1 del capítulo anterior.

Retomemos, ahora, el caso 2.2 del capítulo anterior. Si $a$ es distinto o no de $1,$ y $\ c=0,$ aplicando la resolvente será

MATH que es MATH , que es MATH

o sea $x_{1}=\frac{o}{2a}$, que es $x_{1}=0$;

y MATH o sea MATH entonces $x_{2}=-\frac{b}{a}$. Que, (¿casualmente?), para el caso de $a=1,$son las fórmulas a que habíamos llegado antes.

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE SEGUNDO GRADO

¿Recuerdan lo que dijimos antes sobre una ecuación expresada como $\ (x-p)(x-q)=0$ ?

En primer lugar, multiplicando los dos factores obtendremos una ecuación de segundo grado,

porque $x^{2}$ $-px-xq+pq=0$ puede expresarse como $x^{2}$ $-(p+q)x+pq=0$ donde podemos asimilar $\ a=1,$ $-(p+q)=b,\ $y $\ pq=c$ (C)

Si observamos el primer miembro antes de convertirlo en un polinomio, podemos ver que si $x=p,$ el primer factor es $=0,$ y el producto es $=0.$

También si hacemos $x=q$ el segundo factor dará $=0$ y por lo tanto el producto dará $=0.$

¡ Pero eso quiere decir que $p$ y $q$ son raíces de la ecuación?????!!!!!!! Y, sí, es así. Y esto nos lleva a varias conclusiones interesantes y útiles.

1) Una ecuación de 2º grado, conocidas sus raíces $x_{1}$ y $x_{2},$ puede expresarse como MATH de lo cual se desprende que si no conocemos la forma de la ecuación, pero sí sus raíces, podemos reconstruirla (es decir, expresarla en forma polinómica).

Por supuesto que, de esta forma, siempre obtendremos ecuaciones reducidas, porque si los coeficientes de $x$ son $1$, el de $x^{2}$ también será $=1.$

Pero, podemos obtener infinitas ecuaciones de 2º grado, equivalentes a éstas, sólo con multiplicar ambos miembros de la forma factoreada, por cualquier número real.

Por ejemplo, en $(x-3)(x+4)=0$ se ve enseguida que $3\ \ $y$\ \ \ -4$ son las raíces, y la forma polinómica sería $x^{2}+x-12=0$ (D) (¿por qué?)

Pero, si multiplicamos ambos miembros, por ejemplo, por 5, la nueva ecuación $5(x-3)(x+4)=0.(5)$ será equivalente a la anterior, porque $3$ y $\ -5$ siguen siendo las raíces, y la forma polinómica ahora será

$5(x^{2}+x-12)=0,$ o sea, $5x^{2}+5x-60=0.$

Y así sucederá con cualquier número real por el cual multipliquemos la ecuación reducida.

Ya vimos que si tenemos una ecuación NO REDUCIDA, podemos llegar a la reducida equivalente, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de $x^{2}. $

2) Vimos en (C) que , si $\ x_{1}=p$ y $\ x_{2}$ $=q$ eran las raíces de la forma reducida, entonces, como $a=1,$ $-(p+q)=b,\ $y $\ pq=c$ , podemos

reconstruir la forma polinómica de la ecuación como MATH

Es decir, que la suma de las raíces, con signo opuesto, es igual al coeficiente del término lineal. O sea $-(x_{1}+x_{2})=b$

Y el producto de las raíces, es el término independiente. O sea, $x_{1}.x_{2}=c$ .

Podemos verificar que esto se cumple en (D)
$-[3+(-4)]=-(-1)$ $\ \ $, entonces $b=1$ . Y $[3(-4)]=-12$, entonces $c=-12$. ¿Y? ¿Qué me cuentan?

Pasemos ahora a un tema complejo:

RAICES REALES Y RAICES COMPLEJAS

Si la ecuación es como las que vimos antes, las raíces son números reales, pero si son como, por ejemplo,

$x^{2}+2x+5=0,$ al aplicar la fórmula resolvente tendremos MATH que da MATH

"Pero, ¿qué es esto, Dios mío? ¿Raiz cuadrada de número negativo? ¡Si eso no existe!", dirán algunos. Bueno, no es para tanto. No existe en el conjunto de los números reales, pero para algo se inventaron los números imaginarios, que, asociados con los reales, constituyen los números complejos.

Veamos: Yo sé resolver $\sqrt{16},$ que hasta da raiz exacta y todo, pero, MATH...

Probemos con alguno de los truquitos de los matemáticos. Todos sabemos que es perfectamente legal decir que

MATH y, como la buena de doña Propiedad Distributiva de La RadicaciónConRespetoALaMultiplicación nos lo permite, decimos con toda tranquilidad de conciencia que

MATH o sea MATH .

Con lo cual hemos solucionado la mitad del problema. Pero, ¿qué cosa exótica es ese $\sqrt{(-1)}?$. Pues es $i,$ la unidad imaginaria que fue inventada justamente para estas situaciones críticas.

Esta unidad no se define como $i=\sqrt{-1}$ sino como el valor que cumple $i^{2}=-1.$ Pero, en la práctica, sirve justamente para operar con $\sqrt{-1}$reemplazándolo cuando aparece para fastidiar. Por otro lado, observemos que ($\sqrt{-1})^{2}=-1$, así que no es incorrecto hacer esa sustitución.

Visto todo lo cual, volvemos a nuestra ecuación, donde las raíces serán

MATH o sea $x_{1}=-1+2i$ , y

MATH o sea $x_{2}=-1-2i$

Si miramos fijamente a los dos valores obtenidos para las raíces, veremos que son casi iguales, salvo por el signo de los términos que contienen a $i.$

Son números complejos, porque constan de una parte real :$\ -1$, y una parte imaginaria: $+2i$ uno, y el otro $-2i$ . Son lo que se llama, dos números complejos conjugados, es decir que tienen las partes reales iguales, y las partes imaginarias opuestas (de igual valor numérico y distinto signo).

Y siempre que una ecuación tenga raíces complejas, serán números complejos conjugados, porque la parte real es igual y la imaginaria proviene de raices iguales, pero precedidas por distinto signo.

Reemplacemos ahora, en la ecuación en cuestión, a $x$ por los valores hallados, para comprobar que estas raíces son las correctas (es decir, comprobaremos que realmente es una igualdad). Mientras no lo demostremos, lo escribiremos como pregunta

MATH $\ ?,$ Podemos pensar el primer miembro como MATH , donde los términos en $\ i$ se anulan mutuamente, y reemplazamos $i^{2}$ por $-1.$

Será, entonces, $4(-1)+4=0$ . Así que para la primera raiz, ya estamos cumplidos.

Para la segunda, reemplazamos y resolvemos MATH o sea

MATH (después de desarrollar el cuadrado del binomio) donde también se anulan los términos con $i, $ y es MATH

O sea, $1-4+3=0,$ que es lo que queríamos comprobar, también para la segunda raiz.

¿Y qué generalización podríamos extraer de esto? Podríamos observar que esta situación se da cuando la expresión subradical es negativa, es decir $b^{2}-4ac$ es menor que 0, es decir que $b^{2}$ es menor que $4ac.$

Entonces, sólo con ver la forma de la ecuación estaremos en condiciones de predecir si las raíces serán complejas o reales.

En nuestro ejemplo, se ve enseguida que $2^{2}=4$ es menor que $\ 4.5=20$ .

Y, para terminar, por hoy, les dejo unas cuantas ecuaciones para resolver, con sus respectivas soluciones, para mirar DESPUES de resolverlas, no antes. También les propongo un problema que se resuelve utilizando ecuaciones.

Aquí van:

Hallar las raíces de : 1) MATH MATH

2) $\frac{1}{3}$ MATH $(2;-4)$

3) $x^{2}=-3,7x$ $(0;-3,7)$

4) $-3 $ $x^{2}=-9$ $(\pm \sqrt{3})$

5) $x^{2}-16x+68=0$ $(8\pm 2i)$

Problema: Un móvil parte de A con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Sale con una velocidad de 3 $\frac{m}{s}$ y al cabo de 10 segundos su velocidad es de 7$\frac{m}{s}.$¿Qué tiempo deberá trascurrir para que recorra 18900 m desde su punto de partida? (Solución: 5 minutos)

(Algunas aclaraciones:

1) la fórmula para calcular la distancia en un movimiento de este tipo es MATH donde $v_{0}$ es la velocidad inicial, $a$ es la aceleración, y $t$ el tiempo,

2) la aceleración es el incremento de la velocidad dividido por el tiempo que duró ese incremento, y

3) en los problemas de física, sólo se tendrá en cuenta el valor positivo entre los hallados como solución.)

Bien, hasta la vista, amigos.

Las propiedades de las raíces de una ecuación de 2º grado

"Silvia Ele, la autora de esta colaboración, es una profesora de matemática de muchos años, con quien podés comunicarte enviándole un mensaje a  silviaele59@hotmail.com "

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