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Una antiquísima leyenda cuenta que
Sheram, príncipe de la india, quedó tan maravillado cuando conoció el juego
del ajedrez, que quiso recompensar generosamente a Sessa, el inventor de
aquel entretenimiento. Le dijo: "Pídeme lo que quieras". Sessa le respondió:
"Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla
del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta,
y así sucesivamente hasta la casilla 64".
El príncipe no pudo complacerle,
porque el resultado de esa operación S = 1 + 2 + 4 + ... + 263 es
aproximadamente 18 trillones de granos. Para obtenerlos habría que sembrar
la Tierra entera 65 veces.
Pulula por los círculos
matemáticos un sorprendente final de la historia. Sheram, preocupado al
haber empeñado su palabra, mandó llamar al matemático del reino, un tal Pepe
Martínez Aroza, el cual razonó de la siguiente manera:
"Alteza, puesto que no tenéis
trigo suficiente para pagar la deuda contraida con Sessa, igual os daría
deberle aún más. Sed, pues, magnánimo y aumentad vuestra recompensa a la
cantidad S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... hasta el infinito. Observad que, a partir
de la segunda casilla, todas las cantidades a sumar son pares, lo cual nos
permite escribir S = 1 + 2 × ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... ), o lo que es lo mismo,
S = 1 + 2 × S. Ahora, vos mismo podéis resolver esta sencilla ecuación de
primer grado y, veréis que la única solución es S = -1. Podéis decir a Sessa
que no solamente puede considerarse pagado con creces, ya que habéis
aumentado enormemente vuestra recompensa, sino que actualmente os adeuda un
grano de trigo."
LA RAZÓN AUREA ó LA PERFECTA PROPORCIÓN
Pitágoras y sus seguidores formaban
una una especie de escuela o comunidad. Para ellos, el número cinco tenía un
atractivo especial: su símbolo era una estrella de cinco puntas y les interesaba
especialmente la figura del pentágono. En el pentágono hallaron el número ,
llamado número áureo (de oro). Es un número irracional que refleja la relación
entre el lado de un pentágono y su diagonal. Su valor es , o aproximadamente
1,6180339887.... Las llamadas proporciones áureas, 1: han sido consideradas
perfectas por los artistas desde
la Antigua Grecia hasta nuestros días. Un rectángulo con las proporciones
perfectas tiene la particularidad de que si se quita un cuadrado de 1×1, la
parte restante vuelve a tener las proporciones perfectas. Los constructores del
Partenón de Atenas (y los de muchos otros templos y edificios) tuvieron muy en
cuenta la proporción áurea. La relación entre la altura y la anchura de su
fachada es precisamente . Y lo mismo sucede con muchos objetos cotidianos:
tarjetas de crédito, carnés de identidad, las cajas de los casetes...
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CALCULO ULTRARRÁPIDO
La capacidad para efectuar rápidamente operaciones aritméticas
mentales parece tener sólo una moderada correlación con la inteligencia
general y menor aún con la intuición y creatividad matemáticas. Algunos de
los matemáticos más sobresalientes han tenido dificultades al operar, y
muchos «calculistas ultrarrápidos» profesionales (aunque no los mejores) han
sido torpes en todas las demás capacidades mentales. Sin embargo, algunos
grandes matemáticos han sido también diestros calculistas mentales. Carl
Friedrich Gauss por ejemplo, podía llevar a cabo prodigiosas hazañas
matemáticas en la mente. Le gustaba hacer alarde de que aprendió antes a
calcular que a hablar. Se cuenta que en cierta ocasión su padre, de oficio
albañil, estaba confeccionando la nómina general de sus empleados, cuando
Friedrich, que entonces tenía 3 años, le interrumpió diciéndole: «Papá, la
cuenta está mal...». Al volver a sumar la larga lista de números se comprobó
que la suma correcta era la indicada por el niño. Nadie le había enseñado
nada de aritmética. John von Neumann era un genio matemático que también
estuvo dotado de este poder peculiar de computar sin usar lápiz ni papel.
Robert Jungk habla en su libro Brighter than a Thousand Suns acerca
de una reunión celebrada en Los Álamos, durante la Segunda Guerra Mundial,
en la que von Neumann, Enrico Fermi, Edward Teller y Richard Feynman
lanzaban continuamente ideas. Siempre que había que efectuar un cálculo
matemático, Fermi, Feynman y von Neumann se ponían en acción. Fermi empleaba
una regla de cálculo, Feynman una calculadora de mesa, y von Neumann su
cabeza. «La cabeza», escribe Jungk (citando a otro físico), «terminaba
normalmente la primera, y es notable lo próximas que estaban siempre las
tres soluciones».
La capacidad para el cálculo mental de Gauss, von Neumann y
otros leones matemáticos como Leonhard Euler y John Wallis puede parecer
milagrosa; palidece, sin embargo, ante las hazañas de los calculistas
profesionales, una curiosa raza de acróbatas mentales que floreció a lo
largo del siglo XIX en Inglaterra, Europa y América. Muchos comenzaron su
carrera de niños. Aunque algunos escribieron acerca de sus métodos y fueron
examinados por psicólogos, probablemente ocultaron la mayoría de sus
secretos, o quizás ni ellos mismos entendían del todo como hacían lo que
hacían. Zerah Colburn, nacido en Cabot, Vt., en 1804, fue el primero de los
calculistas profesionales. Tenía seis dedos en cada mano y en cada pie, al
igual que su padre, su bisabuela y al menos uno de sus hermanos. (Se le
amputaron los dedos de sobra cuando tenía alrededor de 10 años. Nos
preguntamos si acaso fue eso lo que le alentó en sus primeros esfuerzos por
contar y calcular.) El niño aprendió la tabla de multiplicar hasta el 100
antes de que pudiese leer o escribir. Su padre, un pobre granjero, se dio
cuenta rápidamente de sus posibilidades comerciales, y cuando el rapaz tenía
solamente seis años le llevó de gira por primera vez. Sus actuaciones en
Inglaterra, cuando tenía ocho años, están bien documentadas. Podía
multiplicar cualesquiera números de cuatro dígitos casi instantáneamente,
pero dudaba un momento ante los de cinco. Cuando se le pedía multiplicar
21.734 por 543. decía inmediatamente 11.801.562. Al preguntarle cómo lo
había hecho, explicó que 543 es igual a 181 veces 3. Y como era más fácil
multiplicar por 181 que por 543, había multiplicado primero 21.734 por 3 y
luego el resultado por 181. Washington Irving y otros admiradores del niño
recaudaron dinero suficiente para enviarlo a la escuela, primero en París y
luego en Londres. No se sabe si sus poderes de cálculo decrecieron con la
edad o si perdió el interés por actuar. Lo cierto es que volvió a América
cuando tenía 20 años, ejerciendo luego otros diez como misionero metodista.
En 1833 publicó en Springfield, Mass., su pintoresca autobiografía titulada
A Memoir of Zerah Colburn: written by himself. . . with his peculiar methods
of calculation. En el momento de su muerte, a los 35 años, enseñaba
lenguas extranjeras en la Universidad de Norwich en Northfield, Vt.
Paralelamente a la carrera profesional de Colburn se desarrolla
en Inglaterra la de George Parker Bidder, nacido en 1806 en Devonshire. Se
dice que adquirió la destreza en el cálculo aritmético jugando con
piedrecitas y botones, porque su padre, un picapedrero, sólo le enseñó a
contar. Tenía nueve años cuando se fue de gira con su progenitor. Entre las
preguntas que le planteaban los espectadores puede elegirse la que sigue: si
la Luna dista 123.256 millas de la Tierra y el sonido viaja a cuatro millas
por minuto ¿cuánto tiempo tarda éste en hacer el viaje de la Tierra a la
Luna (suponiendo que pudiese)? En menos de un minuto el niño respondía: 21
días, 9 horas y 34 minutos. Cuando se le preguntó (a los 10 años) por la
raíz cuadrada de 119.550.669.121, contestó 345.761 en 30 segundos. En 1818,
cuando Bidder tenía 12 años y Colburn 14, coincidieron en Derbyshire, donde
hubo un cotejo. Colburn da a entender en sus memorias que ganó el concurso,
pero los periódicos de Londres concedieron la palma a su oponente. Los
profesores de la Universidad de Edimburgo persuadieron al viejo Bidder para
que les confiase la educación de su hijo. El joven se desenvolvió bien en la
universidad y finalmente llegó a ser uno de los mejores ingenieros de
Inglaterra. Los poderes de cálculo de Bidder no decrecieron con la edad.
Poco antes de su muerte, acaecida en 1878, alguien citó delante de él que
hay 36.918 ondas de luz roja por pulgada. Suponiendo que la velocidad de la
luz es de 190.000 millas por segundo, ¿cuántas ondas de luz roja, se
preguntaba, llegarán al ojo en un segundo? «No hace falta que lo calcules»,
dijo Bidder. «El número de vibraciones es 444.433 .651.200.000».
Tal vez haya sido Alexander Craig Aitken el mejor de los
calculistas mentales recientes. Profesor de matemáticas de la Universidad de
Edimburgo, nació en Nueva Zelanda en 1895 y fue coautor de un libro de texto
clásico, The Theory of Canonical Matrices, en 1932. A diferencia de
otros calculistas ultrarrápidos, no comenzó a calcular mentalmente hasta la
edad de 13 años, siendo el álgebra, no la aritmética, lo que despertó su
interés. En 1954, casi 100 años después de la histórica conferencia de
Bidder, Aitken pronunció otra en la Sociedad de Ingenieros de Londres sobre
el tema «El arte de calcular mentalmente: con demostraciones». El texto fue
publicado en las Transactions de la Sociedad (Diciembre, 1954), con
el fin de conservar otro testimonio de primera mano de lo que ocurre dentro
de la mente de un calculista mental rápido. Un prerrequisito esencial es la
capacidad innata para memorizar números rápidamente. Todos los calculistas
profesionales hacen demostraciones de memoria. Cuando Bidder tenía 10 años,
pidió a alguien que le escribiera un número de cuarenta dígitos y que se lo
leyera. Lo repitió de memoria inmediatamente. Al final de una
representación, muchos calculistas eran capaces de repetir exactamente todos
los números con los que habían operado. Hay trucos mnemotécnicos mediante
los que los números pueden transformarse en palabras, que a su vez pueden
memorizarse por otro método, pero tales técnicas son demasiado lentas para
emplearlas en un escenario y no hay duda de que ningún maestro las empleaba.
«Nunca he utilizado reglas mnemotécnicas», dijo Aitken, «y recelo
profundamente de ellas. No hacen más que perturbar con asociaciones ajenas e
irrelevantes una facultad que debe ser pura y límpida». Aitken mencionó en
su conferencia haber leído recientemente que el calculista francés
contemporáneo Maurice Dagbert había sido culpable de una aterradora pérdida
de tiempo y energía» por haber memorizado pi (v.) hasta el decimal 707 (el
cálculo había sido hecho por William Shanks en 1873). «Me divierte pensar»,
dijo Aitken, «que yo lo había hecho algunos años antes que Dagbert y sin
encontrar ninguna dificultad. Sólo necesité colocar los digitos en filas de
cincuenta, dividir cada una de ellos en grupos de cinco y luego leerlas a un
ritmo particular. De no ser tan fácil habría sido una hazaña
reprensiblemente inútil». Veinte años después, cuando los computadores
modernos calcularon pi con miles de cifras decimales, Aitken se enteró de
que el pobre Shanks se había equivocado en los 180 últimos dígitos. «De
nuevo me entretuve», continuó Aitken «en aprender el valor correcto hasta el
decimal 1000, y tampoco entonces tuve dificultad alguna, excepto que
necesitaba 'reparar' la unión donde había ocurrido el error de Shanks. El
secreto, a mi entender, es relajarse, la completa antítesis de la
concentración tal como normalmente se entiende. El interés es necesario. Una
secuencia de números aleatorios, sin significación aritmética o matemática,
me repelería. Si fuera necesario memorizarlos, se podría hacer, pero a
contrapelo». Aitken interrumpió su conferencia en este punto y recitó pi
hasta el dígito 250, de un modo claramente rítmico. Alguien le pidió
comenzar en el decimal 301. Cuando había citado cincuenta dígitos se le rogó
que saltase al lugar 551 y dar 150 más. Lo hizo sin error, comprobándose los
números en una tabla de pi
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FIBONACCI
Leonardo
de Pisa (1170-1241), más conocido por Fibonacci, que significa «hijo de
Bonaccio», coetáneo de Ricardo Corazón de León, fue sin duda el más grande
entre los matemáticos europeos de la Edad Media. Se aficionó a las
matemáticas siendo un chiquillo, tras un curso de aritmética posicional
hindú que su padre, Bonaccio, director de la oficina de aduanas en una
factoría mercamtil italiana asentada en Bougie, Argelia, le hizo seguir. La
más conocida de sus obras, Liber abaci (1202) (literalmente, Libro
del ábaco) era en realidad un amplio tratado del sistema de numeración
indoarábigo, en el que presenta los signos hindúes y el 0 (quod arabice
zephirum appellatur), y el método de regula falsi para ecuaciones
de primer grado, mas sus razonamientos no parecieron causar demasiada
impresión a los mercaderes italianos de la época. Con el tiempo, su libro
llegó a ser, empero, la obra de máxima influencia entre todas las que
contribuyeron a introducir en Occidente la notación indo-arábiga. En De
quadratis numeris (~1225), que se perdió, y apareció en 1853 en la
Biblioteca Ambrosiana de Milán, cuando muchos pensaban que sus resultados
estaban copiados de Diofanto, supera a éste y a los árabes y sólo es
superado por Fermat (v.) en el siglo XVII.
No deja de ser irónico que Leonardo, cuyas
aportaciones a la matemática fueron de tanta importancia, sea hoy conocido
sobre todo a causa de un matemático francés del siglo pasado, Edouard Lucas,
interesado por la teoría de números (y recopilador de una clásica obra de
matemáticas recreativas, en cuatro volúmenes), quien encadenó el nombre de
Fibonacci a una sucesión numérica que forma parte de un problema trivial del
Liber abaci. La sucesión de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,11,... cada término
es la suma de los dos anteriores Fn=Fn-1+Fn-2)
ha tenido intrigados a los matemáticos durante siglos, en parte a causa de
su tendencia a presentarse en los lugares más inopinados, pero sobre todo,
porque el más novel de los amateurs en teoría de números, aunque sus
conocimientos no vayan mucho más allá de la aritmética elemental, puede
aspirar a investigarla y descubrir curiosos teoremas inéditos, de los que
parece haber variedad inagotable. El interés por estas sucesiones ha sido
avivado por desarrollos recientes en programación de ordenadores, ya que al
parecer tiene aplicación en clasificación de datos, recuperación de
informaciones, generación de números aleatorios, e incluso en métodos
rápidos de cálculo aproximado de valores máximos o mínimos de funciones
complicadas, en casos donde no se conoce la derivada. Seguramente la
propiedad más notable de la sucesión de Fibonacci sea que la razón entre
cada par de números consecutivos va oscilando por encima y debajo de la
razón áurea, y que conforme se va avanzando en la sucesión, la diferencia
con ésta va haciéndose cada vez menor; las razones de términos consecutivos
tienen por límite, en el infinito, la razón áurea. La razón áurea es un
famoso número irracional, de valor aproximado 1,61803..., que resulta de
hallar la semisuma de 1 y la raíz cuadrada de 5. Hay abundante literatura
(no siempre seria) dedicada a la aparición de la razón áurea y de la
sucesión de Fibonacci tan relacionada con ella, en el crecimiento de los
organismos y a sus aplicaciones a las artes plásticas, a la arquitectura e
incluso a la poesía. George Eckel Duckworth, profesor de clásicas en la
Universidad de Princeton, sostiene en su libro
Structural Patterns and Proportions in Vergil's Aeneid (University of
Michigan Press, 1962) que lo mismo Virgilio que otros poetas latinos de su
época se sirvieron deliberadamente de la sucesión de Fibonacci en sus
composiciones.
En el reino vegetal, la sucesión de Fibonacci
hace su aparición más llamativa en la implantación espiral de las semillas
en ciertas variedades de girasol. Hay en ellas dos haces de espirales
logarítmicas, una de sentido horario, otra en sentido antihorario. Los
números de espirales son distintos en cada familia, y por lo común, números
de Fibonacci consecutivos. La lista de propiedades de la sucesión de
Fibonacci bastaría para llenar un libro. Otro tanto puede decirse de sus
aplicaciones en Física y Matemáticas. Leo Moser ha estudiado las
trayectorias de rayos luminosos que inciden oblicuamente sobre dos láminas
de vidrio planas y en contacto. Los rayos que no experimentan reflexión
alguna atraviesan ambas láminas de sólo una forma; para los rayos que sufren
una reflexión hay dos rutas posibles; cuando sufren dos reflexiones, las
trayectorias son de tres tipos, y cuando sufren tres, de cinco. Al ir
creciendo el número n de reflexiones, el número de trayectorias
posibles va ajustándose a la sucesión de Fibonacci: para n
reflexiones, el número de trayectorias es Fn+2.
La sucesión puede utilizarse de forma parecida para contar el número de
distintas rutas que puede seguir una abeja que va recorriendo las celdillas
exagonales del panal; supondremos que la abeja se dirige siempre a una
celdilla contigua y a la derecha de la que ocupa. Poco cuesta probar que hay
sólo una ruta hasta la primera casilla, dos hasta la segunda, tres hasta la
tercera, cinco itinerarios que conduzcan a la cuarta, y así sucesivamente.
Al igual que antes, el número de trayectos es Fn+1,
donde n es el número de casillas del problema. Y ya que viene a
cuento, las abejas machos, o zánganos, no tienen padre. C. A. B. Smith ha
hecho notar que cada zángano tiene madre, 2 abuelos (los padres de la
madre), 3 bisabuelos (y no cuatro, pues el padre de la madre no tuvo padre),
5 tatarabuelos, y así sucesivamente, en sucesión de Fibonacci. David Klarner
ha mostrado que los números de Fibonacci expresan de cuántas maneras podemos
construir con dominós (rectángulos de tamaño 1 x 2) rectángulos de dimensión
2 x k. Hay sólo una manera de formar el rectángulo 2 x 1; 2 maneras
de construir el cuadrado de 2 x 2; 3 para el rectángulo de 2 x 3; 5 para el
de 2 x 4, y así sucesivamente.
El más notable de los problemas abiertos concernientes a
sucesiones de Fibonacci es el de si contienen o no colecciones infinitas de
números primos. En una sucesión de Fibonacci generalizada, si los primeros
números son divisibles ambos por un mismo número primo, todos los términos
posteriores lo serán también, y es evidente que tales sucesiones no podrán
contener más de un número primo. Supongamos, pues, que los dos primeros
números sean primos entre sí (esto es, que su único común divisor sea 1).
¿Podrán existir sucesiones generalizadas que no contengan absolutamente
ningún número primo? El primero en resolver esta cuestión fue R. L. Graham
en «A Fibonacci-like Sequence of Composite Numbers», en
Mathematics Magazine, vol, 57, noviembre de 1964 pp. 322-24. Existe una
infinidad de sucesiones así, pero la mínima (en el sentido de serlo sus dos
primeros números) es la que empieza por 1786772701928802632268715130455793 y
1059683225053915111058165141686995.
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ERATOSTENES de CIRENE:
(275-194
a.C.) Sabio griego nacido en la actual Libia, quien en el siglo III a.C.
calculó por primera vez, que se sepa, el radio de la Tierra. Partiendo de la
idea de que la
Tierra tiene forma esférica y que el Sol se
encuentra tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares
llegan a la Tierra paralelos, Eratóstenes el día del solsticio de verano (21
de junio), a las doce de la mañana, midió, en Alejandría, con ayuda de una
varilla colocada sobre el suelo, el ángulo de inclinación del Sol, que
resultó ser 7,2°; es decir, 360º/50. Al mismo tiempo sabía que en la ciudad
de Siena (actual Assuán, en que se construyó recientemente la gran presa de
Assuán sobre el curso del río Nilo), los rayos del sol llegaban
perpendicularmente al observar que se podía ver el fondo de un pozo
profundo. La distancia de Alejandría a Siena situada sobre el mismo
meridiano era de 5000 estadios (1 estadio = 160 m). Entonces Eratóstenes
pensó que dicha distancia sería igual a 1/50 de toda la circunferencia de la
Tierra; por tanto, la circunferencia completa medía:
50 × 5.000 = 250.000 estadios = 250.000 × 160 m
= 40.000 km
De donde el radio de la Tierra medía: R =
40.000 / 2Pi = 6.366,19 km.
Las actuales mediciones sobre el radio de la Tierra dan el
valor de 6.378 km. Como se puede observar se trata de una extraordinaria
exactitud, si se tienen en cuenta los escasos medios de que se disponía.
Hoy día, gracias a las mediciones efectuadas por los satélites
conocemos la Tierra palmo a palmo y podemos saber con precisión casi
milimétrica cuál es su tamaño. Pero hace veintitrés siglos no era tan fácil.
Medir el radio de la Tierra no fue el único mérito de
Eratóstenes. Como otros sabios de su época, no se conformó con una rama del
saber: Fue astrónomo, geógrafo, historiador, literato... y matemático: a él
se debe la "criba de Eratóstenes", un sistema para determinar números
primos.
Todos esos conocimientos y su gran reputación hicieron que el
Rey de Egipto le eligiera para dirigir la Biblioteca de Alejandría, en la
que se guardaba todo el saber de su época.
A los ochenta años, ciego y cansado, se dejó morir por
inanición
Pierre
de Fermat (1601-1665), francés, fundador de la teoría de los números. No era
matemático sino jurista, y sus trabajos matemáticos no se publicaron hasta
después de su muerte. Escribió numerosas notas al margen de su ejemplar de
la Aritmética de Diofanto. Una de ellas ha llegado a ser uno de los
más famosos enunciados en la historia de las matemáticas, el
Último teorema de Fermat. Al lado de un problema sobre ternas pitagóricos,
escribió en latín: "Por otra parte, es imposible que un cubo sea suma de
otros dos cubos, una cuarta potencia, suma de dos cuartas potencias, o en
general, que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser
suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración
verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado
estrecho para contener." Un jurista provinciano del s. XVII ha burlado con
su teorema a los más capaces matemáticos de tres siglos. Se sospecha que
estaba equivocado y carecía de tal demostración. Cien años más tarde
Euler(v.) publicó una demostración ¡errónea! Para n=3. En 1825, Dirichlet y
Legendre lo hicieron para n=5, y en 1840 Gabriel Lamé lo hizo, no sin gran
dificultad, para n=7. En 1847 Kummer logró establecerlo para todo n primo
<100 salvo, quizá, para 37, 59 y 67. Mediante ordenador se demostró en 1970
para n hasta 30.000 y poco después hasta 125.000. En 1854 la Academia de
Ciencias de París había hecho la promesa de otorgar una medalla y 300.000
francos de oro a quien lograra demostrar el teorema. Kummer recibió la
medalla en 1858. La historia tiene su final con Willes (v.), quien ha
logrado, no sin tropiezos, dejarlo definitivamente establecido
Andrew Willes, británico, demostró en una
maratoniana conferencia (21 al 23 de junio de 1993) el último teorema de
Fermat (v.) causando un gran revuelo que llegó a los noticiarios de todo el
mundo. Presentó un manuscrito de 200 páginas a Inventiones Mathematicae
y el editor lo envió a seis recensores. Willes respondió de inmediato a
todas sus objeciones, salvo una, por causa de la cual en diciembre de 1993
se retiró de la circulación y en junio de 1995, tras siete meses de
minuciosa comprobación, se publicó la prueba definitiva, que ocupa un número
completo de Annals of Mathematics.
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GOTTINGEN:
En la Universidad de
Göttingen hay un cofre que contiene un manuscrito en el que se expone la
construcción, usando tan sólo regla y compás, de un polígono regular de 65.537
lados. Solamente pueden construirse polígonos regulares de número primo de lados
por el procedimiento clásico cuando el número de lados sea un primo de un tipo
especial que se conocen con el nombre de números primos de Fermat (v.): números
primos que puedan expresarse en la forma: (2²)²+1. Tan solo se conocen cinco
números primos de este tipo: 3, 5, 17, 257 y 65.537. En opinión de Coxeter, el
pobre matemático que consiguió construir el 65.537-gono, debió invertir en ello
unos diez años. Se ignora si existe un polígono con un número primo de lados
mayor que el anterior que pueda ser construido a priori con regla y compás. Si
tal polígono existe, su construcción efectiva está fuera de la cuestión, pues su
número de lados sería astronómico
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NUMERO PI:
Le rodean muchos misterios, a pesar de ser una
constante natural. Aparece en los lugares más inesperados: la probabilidad
de que dos enteros positivos cualesquiera sean primos entre sí es 6/pi^2.
Augustus de Morgan escribió "... este
misterioso 3.14159... que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se
desliza por cualquier chimenea". Bertrand Russell escribió un cuento corto
titulado La pesadilla del matemático, en el que escribe "El rostro de
(pi) estaba enmascarado; se sobreentendía que nadie podía contemplarlo y
continuar con vida. Pero unos ojos de penetrante mirada acechaban tras la
máscara, inexorables, fríos y enigmáticos...".
Las primeras civilizaciones indoeuropeas ya
tenían conciencia de que el área del círculo es proporcional al cuadrado de
su radio, y de que su circunferencia lo es al diámetro. Sin embargo no se
sabe cuándo se comprendió por vez primera que ambas razones son la misma
constante, simbolizada en nuestros días por la letra griega pi (El símbolo
del que toma nombre la constante lo introdujo en 1706 el escritor y
matemático inglés William Jones y lo popularizó el matemático suizo Leonhard
Euler (v.) en el siglo XVIII.) Arquímedes de Siracusa (v.), el mayor
matemático de la antigüedad, estableció rigurosamente la equivalencia de
ambas razones en su tratado Medición de un circulo. Usando polígonos
de 96 lados inscritos (idea de Antífono) y circunscritos (idea de Brisón de
Heraclea) (¡y sin conocer las funciones trigonométricas!), llegó a que 310/71<pi<310/70
y dedujo un laborioso procedimiento para calcular (pi) con cualquier
precisión.
En el s. V, el astrónomo chino Tsu Ch'ung-Chih
descubrió que pi=355/113(aproximadamente)
Todos los intentos de calcular el número (pi)
realizados en Europa hasta mediados del siglo XVII se fundaron de un modo u
otro en el método de Arquímedes. Ludolph van Ceulen, matemático holandés del
siglo XVI, dedicó gran parte de su carrera al cálculo de (pi). Casi al final
de su vida obtuvo una aproximación de 32 cifras calculando el perímetro de
polígonos inscritos y circunscritos de 262 (unos 1018)
lados. Se dice que el valor de (pi) que obtuvo así, denominado número
ludolfiano en ciertas regiones de Europa, fue su epitafio.
Los que investigando la cuadratura del círculo
creyeron haber descubierto un valor exacto de (pi) forman legión; ninguno de
ellos aventajó al filósofo inglés
Thomas Hobbes en capacidad para combinar
con un elevado pensamiento la más profunda ignorancia. En la época de Hobbes
no se les enseñaban las matemáticas a los ingleses cultivados, y éste había
ya cumplido los cuarenta cuando por vez primera ojeó los textos de Euclides.
Al llegar al teorema de Pitágoras exclamó asombrado: «¡Por Dios! ¡Esto es
imposible!», tras de lo cual retrocedió y rehizo paso a paso toda la
demostración hasta quedar plenamente convencido. Durante el resto de su vida
se entregó a la geometría con el ardor de un enamorado. «La geometría tiene
algo que la asemeja al vino», escribiría posteriormente, y se dice que, a
falta de superficies más adecuadas, solía dibujar figuras geométricas en la
ropa de su cama. Si Hobbes se hubiera contentado con ser un matemático
aficionado, un amateur, hubieran sido más tranquilos los años de su
vejez; pero su monstruoso egotismo le indujo a creerse dotado para realizar
grandes descubrimientos en matemáticas. En 1655, a los sesenta y siete años
de edad, se lanzó a publicar un libro en latín titulado De corpore
(Sobre los cuerpos), en el que figuraba un ingenioso método para cuadrar el
círculo. En realidad, el método no era más que una excelente aproximación,
pero Hobbes estaba convencido de su exactitud. John Wallis, un distinguido
matemático y criptógrafo inglés escribió entonces un folleto poniendo en
evidencia los errores de Hobbes, y de este modo comenzó uno de los más
largos, divertidos y estériles duelos verbales que jamás hayan librado dos
espíritus selectos. Durante casi un cuarto de siglo, ambos contendientes se
dirigieron los más hábiles sarcasmos y las más aceradas invectivas. Wallis
mantuvo la disputa, en parte por propia diversión, pero principalmente
porque veía en ella un modo de ridiculizar a Hobbes, creando al mismo tiempo
la duda acerca de sus opiniones políticas y religiosas, que Wallis
detestaba. Hobbes respondió al primer ataque de Wallis haciendo reimprimir
su libro en inglés e incluyendo un ultílogo titulado
Six Lessons to the Professors of Mathematics... (Seis lecciones para
profesores de matemáticas...) (Confío en que el lector sabrá disculpar que
abrevie los interminables títulos de las obras del siglo XVII.) Wallis
replicó con Due Correction for Mr. Hobbes in School Discipline for not
saying his Lessons right (Castigo escolar impuesto al señor Hobbes por
no dar debidamente sus lecciones). Hobbes contraatacó entonces con Marks
of the Absurd Geometry, Rural Language, Scottish Church Politics, and
Barbarisms of John Wallis (Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje
patán, la política de la Iglesia escocesa y otros barbarismos de John
Wallis). Wallis devolvió el fuego con Hobbiani Puncto Dispunctio! or the
Undoing of Mr. Hobbes' Points (Hobbiani Puncto Dispunctio! o La
refutación de los puntos del Sr. Hobbes). Algunos panfletos más tarde
(mientras tanto, Hobbes había publicado anónimamente en París un absurdo
método de duplicación del cubo), Hobbes escribía: «O bien sólo yo estoy
loco, o ellos (los profesores de matemáticas) han perdido por completo el
juicio: no podemos, pues, aceptar una tercera opinión, a menos que aceptemos
que todos estamos locos.» «La refutación está de más -fue la respuesta de
Wallis-. Pues si él está loco, seguramente no atenderá a razones; por otra
parte, si somos nosotros los locos, tampoco nos encontraremos en condiciones
de intentar convencerle.» Con treguas momentáneas, la batalla prosiguió
hasta la muerte de Hobbes, ocurrida a los noventa y un años. En uno de sus
últimos ataques contra Wallis, Hobbes, que era efectivamente muy tímido en
su relación con los demás, escribió: «El Sr. Hobbes jamás ha intentado
provocar a nadie; pero quien le provoque descubrirá que su pluma es al menos
tan hiriente como la suya. Todos vuestros escritos no son sino errores o
sarcasmos; esto es, nauseabundos flatos, hedores de mulo viejo cinchado en
exceso tras un hartazgo. Yo he cumplido. Os he tenido en consideración por
esta vez, pero no lo repetiré...» . No es éste el lugar indicado para
explicar con detalle lo que Wallis denominaba «la curiosa incapacidad del
señor Hobbes para aprender lo que no sabe». En conjunto, Hobbes publicó
alrededor de una docena de métodos diferentes para cuadrar el círculo. Una
de las mayores dificultades que debió afrontar el filósofo fue su
incapacidad para concebir que, considerados en abstracto, los puntos, las
líneas y las superficies pudieran tener menos de tres dimensiones. En
Quarrels of Authors (Autores en disputa), Isaac Disraeli escribe: «A
pesar de todos los razonamientos de todos los geómetras que le rodeaban,
parece ser que descendió a su tumba con la firme convicción de que las
superficies tenían tanto extensión como profundidad.» Hobbes constituye un
caso clásico de hombre de genio que se aventura en exceso por una rama de la
Ciencia sin poseer la preparación necesaria, y que disipa sus prodigiosas
facultades en vacuidades pseudocientíficas
(*):para mas información al respecto
deberás bajar el
Anecdotario.
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NUMEROS PERFECTOS:
Los números
perfectos son, sencillamente, números iguales a la suma de todos sus divisores
propios, esto es, de todos los divisores del número a excepción de él
mismo. El menor de
tales números es el 6, que es igual a la suma de sus tres divisores propios, 1,
2 y 3. El siguiente es 28, suma de 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Los primeros
comentaristas del Antiguo Testamento, tanto judíos como cristianos, quedaron muy
impresionados por la perfección de esos dos números. ¿Acaso no fue el Mundo
creado en seis días? ¿No tarda veintiocho días la Luna en su circunvalación en
torno a la Tierra? En La Ciudad de Dios, libro 11, capítulo 30, San
Agustín argumenta que, no obstante poder Dios haber creado el Mundo en un
instante, El prefirió emplear seis días, porque la perfección del número 6
significa la perfección del Universo. (Parecidos puntos de vista habían sido
expresados anteriormente por un filósofo judaico del siglo I, Philo Judaeus, en
el tercer capítulo de su Creación del Mundo) «Por consiguiente», concluye
San Agustín, «no debemos despreciar la ciencia de los números, la cual, en
muchos pasajes de la Sagrada Escritura, demuestra ser de servicio eminente al
intérprete cuidadoso». Los números perfectos son, sencillamente, números iguales
a la suma de todos sus divisores propios, esto es, de todos los divisores del
número a excepción de él mismo. El menor de tales números es el 6, que es igual
a la suma de sus tres divisores propios, 1, 2 y 3. El siguiente es 28, suma de 1
+ 2 + 4 + 7 + 14. Los primeros comentaristas del Antiguo Testamento, tanto
judíos como cristianos, quedaron muy impresionados por la perfección de esos dos
números. ¿Acaso no fue el Mundo creado en seis días? ¿No tarda veintiocho días
la Luna en su circunvalación en torno a la Tierra? En La Ciudad de Dios,
libro 11, capítulo 30, San Agustín argumenta que, no obstante poder Dios haber
creado el Mundo en un instante, El prefirió emplear seis días, porque la
perfección del número 6 significa la perfección del Universo. (Parecidos puntos
de vista habían sido expresados anteriormente por un filósofo judaico del siglo
I, Philo Judaeus, en el tercer capítulo de su Creación del Mundo) «Por
consiguiente», concluye San Agustín, «no debemos despreciar la ciencia de los
números, la cual, en muchos pasajes de la Sagrada Escritura, demuestra ser de
servicio eminente al intérprete cuidadoso».
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LA RECTA DE EULER:
Leonard Euler (v.) demostró que el baricentro, el
ortocentro y el circuncentro de un triángulo están alineados; a dicha recta se
le llama recta de Euler. Además se verifica que el baricentro está situado entre
el ortocentro y el circuncentro y a doble distancia del primero que del segundo
Ver También:
Fórmula Divina de Euler
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HERON DE ALEJANDRÍA:
Herón
de Alejandría (s. I ó II d.C.) fue el inventor de la máquina de vapor. A
partir del siglo XVIII muchas máquinas empezaron a funcionar gracias a la
energía que se obtiene del vapor de agua. Diecisiete siglos antes, Herón de
Alejandría ya utilizó las posibilidades energéticas del vapor. Su "máquina
de vapor" era una esfera hueca a la que se adaptaban dos tubos curvos.
Cuando hervía el agua en el interior de la esfera, ésta giraba a gran
velocidad como resultado de la ley de acción y reacción, que no fue
formulada como tal hasta muchos siglos más tarde. Pero a nadie se le ocurrió
darle al invento más utilidad que la de construir unos cuantos juguetes.
En su
Métrica demostró la fórmula de su nombre:
(ver un ejemplo online)
FORMULA DE HERON PARA CALCULO DE ÁREA DE CUALQUIER TRIANGULO
SUP = (s(s-a).(s-b).(s-c))^(1/2).
(elevado a la 1/2 o raíz cuadrada es lo mismo)
Donde: a,b,c son lo lados del trinagulo,
s es el semiperimetro s=(a+b+c)/2
Para el área de un triángulo, donde a, b y c
representan sus tres lados y s su semiperímetro. La fórmula, que
constituye el principal mérito matemático de Herón, es fácil de demostrar
con ayuda de trigonometría. En nuestros días, el renombre de Herón se debe,
sobre todo, a sus deliciosos tratados sobre autómatas griegos y juguetes
hidráulicos, como la paradójica «fuente de Herón» donde un chorro de agua
parece desafiar la ley de la gravedad, pues brota más alta que su venero.
Herón era, sobre todo, un ingeniero. Escribió tratados de
mecánica en los que describía máquinas sencillas (ruedas, poleas, palancas
... ).
Sólo
usando regla y compás
Dos de las primeras
construcciones de regla y compás que aprenden los niños en geometría plana
son el trazado de la bisectriz de un ángulo y la división de un segmento en
cualquier número de partes iguales. Ambos problemas son tan fáciles que a
muchos alumnos les cuesta creer que no haya manera de emplear esos dos
instrumentos para dividir un ángulo en tres partes iguales. Con frecuencia
es el estudiante mejor dotado en matemáticas el que lo toma como un reto y
se pone inmediatamente a trabajar para demostrar que el profesor está
equivocado. Algo así pasó entre los matemáticos cuando la geometría estaba
en su «niñez». Quinientos años antes de Jesucristo, los geómetras ya
dedicaban gran parte de su tiempo a buscar una manera de combinar rectas y
circunferencias para obtener un punto de intersección que trisecase un
ángulo. Sabían naturalmente que esta operación podía efectuarse con algunos
ángulos; con las restricciones clásicas, pueden trisecarse una infinidad de
ángulos especiales, pero lo que los geómetras griegos deseaban era hallar
una solución general aplicable a cualquier ángulo dado. Su búsqueda, junto
con la de la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo, fue uno de
los tres grandes problemas de construcción de la antigua geometría. Fue P.
L. Wantzel quien en 1837 publicó por primera vez, en una revista de
matemáticas francesa, la primera prueba completamente rigurosa de la
imposibilidad de trisecar un ángulo. Aunque la demostración de que es
imposible trisecar cualquier ángulo con regla y compás convence a cualquiera
que la entienda, sigue habiendo matemáticos aficionados en todo el mundo que
creen haber descubierto un método para hacerlo. El «trisecador» clásico es
alguien que sabe suficiente geometría plana para idear un procedimiento,
pero que no es capaz de comprender la prueba de imposibilidad ni de detectar
el error de su propio método. La trisección es a menudo tan complicada y su
demostración tiene tal cantidad de pasos, que incluso a un geómetra experto
le resulta difícil encontrar el error que con toda seguridad contiene. Lo
normal es que el autor envíe su pseudoprueba a un matemático profesional,
quien por lo general la devuelve sin analizarla siquiera, porque buscar el
error es un trabajo penoso y estéril. Esta actitud confirma invariablemente
la sospecha del «trisector» acerca de la existencia de una conspiración
organizada entre los profesionales para impedir que llegue a conocerse su
gran descubrimiento. Suele publicarlo entonces en un libro o panfleto pagado
de su bolsillo, una vez que todas las revistas matemáticas a las que lo ha
enviado han rechazado su publicación. En ocasiones describe el método en un
anuncio del periódico local, en el que indica además que el manuscrito ha
sido adecuadamente registrado ante notario.
El último matemático amateur que
recibió gran publicidad en los Estados Unidos por un método de trisecar fue
el reverendo Jeremiah Joseph Callahan. Anunció que había resuelto el
problema de la trisección en 1921, cuando ocupaba el puesto de presidente de
la Universidad Duquesne de Pittsburgh. La agencia United Press lanzó
una larga historia que había sido escrita por el propio Callahan. La revista
Time
publicó su fotografía junto con un artículo muy favorable en el que se
comentaba lo revolucionario de su descubrimiento. (Ese mismo año publicó
Callahan un libro de 310 páginas titulado Euclides o Einstein, en el
que demolía la teoría de la relatividad mediante la demostración del famoso
postulado del paralelismo de Euclides. Se deducía así que la geometría no
euclídea, sobre la que está basada la relatividad general, era absurda.) Los
periodistas y el público profano mostraron su sorpresa al comprobar que los
matemáticos profesionales, sin esperar a ver las construcciones del Padre
Callahan, declararon inequívocamente que no podía ser correcta. Por último,
a finales de año, la Universidad Duquesne publicó el opúsculo del Padre
Callahan con el título La trisección del ángulo
El 3 de junio de 1960 el honorable Daniel K.
Inouye, en aquel entornes representante por Hawai y más tarde senador y
miembro del Comité de Investigación del Watergate, incluyó en el
Congressional Record
(Apéndice, páginas A4733-A4734) del 86.° Congreso un largo tributo a Maurice
Kidlel, un retratista de Honolulú que no solamente había trisecado el ángulo
sino que además había conseguido la cuadratura del círculo y la duplicación
del cubo. Kidjel y Kenneth W. K. Young escribieron un libro sobre el tema,
con el título de The Two Hours that Shook the Mathematical World (Las
dos horas que conmovieron el mundo matemático), así como un opúsculo,
Challenging and Solving the Three Impossibles [Desafío y resolución de
los tres imposibles]. Vendían esta literatura, así como los calibres
necesarios para emplear su sistema, a través de la compañía The Kidjel
Ratio. Los dos dieron en 1959 conferencias sobre su trabajo en varias
ciudades norteamericanas, y una cadena de televisión de San Francisco, la
KPJX, hizo un informe documentado bajo el título The Riddle of the
Ages. Según Inouye, «las soluciones de Kidjel se enseñan hoy en cientos
de escuelas y colegios de todo Hawai, Estados Unidos y Canadá». Esperamos
que la afirmación fuese exagerada. En un ejemplar del periódico Los
Angeles Times, del domingo 6 de marzo de 1966 (Sección A, página 16), se
ve cómo una persona de Hollywood había pagado un anuncio a dos columnas para
dar a conocer, en 14 pasos, su procedimiento de trisecar ángulos.
¿Qué le puede decir actualmente un matemático
a un trisector de ángulos? Le diría que en matemáticas es posible enunciar
problemas que son imposibles en un sentido final y absoluto: imposibles en
todo tiempo y en todos los mundos concebibles (lógicamente consistentes).
Tan imposible es trisecar el ángulo como mover en ajedrez la reina de la
misma manera que un caballo. En ambos casos la razón última de esa
imposibilidad es la misma: la operación viola las reglas de un juego
matemático. El matemático le recomendaría al «trisector» que se hiciese con
un ejemplar de algún texto de geometría y se lo estudiara. Y que luego
volviera sobre su demostración y pusiera más empeño en encontrar el error.
Pero los «trisectores» son una raza muy dura y no es probable que acepten
consejos de nadie. Augustus De Morgan, en su Budget of Paradoxes,
cita una frase típica tomada de un panfleto del siglo XIX sobre la
trisección de ángulos: «El resultado de años de intensa reflexión». El
comentario de De Morgan es conciso: «muy probablemente, y muy triste».
Aunque la cuestión parece definitivamente aclarada, todavía
surge la pregunta en algunas tertulias y puede ser motivo de fuertes
polémicas. ¿Cuándo comienza el siglo XXI: el día 1 de enero del año 2000 o
el mismo día del 2001?. En esta ocasión la respuesta aumenta de interés dado
que coincide también el cambio de milenio ¿Cuándo empieza el tercer milenio:
el 1 de enero del año 2000 o del 2001?. Le anticipamos que si usted ha
comprometido una apuesta en favor del año 2000, cuente con que la ha
perdido. Acaso le hayan confundido las instalaciones de VISA por el mundo,
en enormes carteles electrónicos con la cuenta regresiva del tiempo que
falta hasta el año 2000. O las manifestaciones del Sr. Samaranch cuando se
refirió, durante la clausura de los Juegos Olímpicos de 1996, a Sidney 2000
como "los primeros juegos olímpicos del siglo veintiuno".
Para comprender el asunto debemos conocer las vicisitudes del
Calendario Gregoriano que es por el que se rige "la cristiandad". El
calendario actual se comenzó a conocer oficialmente a partir del año de Roma
de 1286, correspondiente al año 532 después de Cristo. En ese año, un monje
escita llamado Denis el Breve propuso a la Iglesia que, dado el tiempo
transcurrido desde la desaparición del Imperio Romano, los años fueran
contados a partir del 1° de enero siguiente al nacimiento de Jesús. De esta
forma, el primer año de la Era Cristiana fue denominado oficialmente como
"Año uno". Desde nuestra lógica contemporánea, el año de nacimiento de
Cristo debió denominarse "Año cero" pero, al no hacerse así, se saltó del
año 1 antes de Cristo (el año -1) al año 1 después de Cristo.
Por otra parte, Gregorio XIII, 1050 años después de que se
comenzó a contar de nuevo desde 1, corrigió el retardo de 10 días que se fue
acumulando desde el año 45 antes de Cristo, cuando los romanos pusieron el
calendario juliano (Julio César). Así en 1582, al jueves 4 de octubre le
siguió el viernes 15 de octubre. El calendario Gregoriano también tiene un
error, solo que éste es de 25 segundos por siglo, con lo que en el año 4317
ya habrá un día de retraso que ajustar.
Si el primer siglo comenzó en el año 1 como resultado de la
sugerencia del monje escita, duró desde el año 1 inclusive hasta el año 100
inclusive (100 años que dura un siglo). El segundo siglo comenzó entonces el
año 101 y duró hasta el año 200, ambos inclusive. Si usted se entretiene en
seguir la sucesión de siglos hasta llegar al nuestro, comprobará que el
siglo XX comenzó en 1901 y terminara el año 2000 (ambos inclusive). Estando
así las cosas, resulta claro que es el año 2001 y no el año 2000 el año del
cambio de siglo. El año 2000 será el último año del siglo XX y del II
milenio y el 1 de enero del 2001 empezará el siglo XXI y el III milenio
RAMANUJAN
Srinivasa
Ramanujan (1887-1920), matemático hindú muy enigmático. De familia humilde,
a los siete años asistió a una escuela pública gracias a una beca. Recitaba
a sus compañeros de clase fórmulas matemáticas y cifras de pi (v.). A los 12
años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6000
teoremas conocidos, sin demostraciones. Ésa fue su formación matemática
básica. En 1903 y 1907 suspendió los exámenes universitarios porque solo se
dedicaba a sus "diversiones" matemáticas. En 1912 fue animado a comunicar
sus resultados a tres distinguidos matemáticos. Dos de ellos no le
respondieron, pero sí lo hizo G.H. Hardy, de Cambridge, tenido por el más
eminente matemático británico de la época. Hardy estuvo a punto de tirar la
carta, pero la misma noche que la recibió se sentó con su amigo John E.
Littlewood (v.) a descifrar la lista de 120 fórmulas y teoremas de
Ramanujan. Horas más tarde creían estar ante la obra de un genio. Hardy
tenía su propia escala de valores para el genio matemático: 100 para
Ramanujan, 80 para David Hilbert, 30 para Littlewood y 25 para sí mismo.
Algunas de las fórmulas de Ramanujan le desbordaron, pero escribió
"...forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría
tenido la imaginación necesaria para inventarlas". Invitado por Hardy,
Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar juntos. En
1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity
College, siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy débil,
moría tres años después.
Lo principal de los trabajos de Ramanujan
está en sus "Cuadernos", escritos por él en nomenclatura y notación
particular, con ausencia de demostraciones, lo que ha provocado una hercúlea
tarea de desciframiento y reconstrucción, aún no concluida. Fascinado por el
número pi (v.), desarrolló potentes algoritmos para calcularlo. Uno de
ellos, reelaborado por los hermanos Jonathan y Peter Borwein
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